Номер 17.9, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.9, страница 169.

Условие.

17.9. Докажите, что если $a < b < c$, то $a < \frac{a+b+c}{3} < c$.

Решение.

Для доказательства двойного неравенства $a < \frac{a+b+c}{3} < c$ необходимо доказать справедливость двух неравенств: $a < \frac{a+b+c}{3}$ и $\frac{a+b+c}{3} < c$.

Доказательство неравенства $a < \frac{a+b+c}{3}$

Согласно условию, $a < b$ и $b < c$. Из этого следует, что $a < c$.
Используем два верных неравенства:$a < b$$a < c$
Сложим их почленно:$a + a < b + c$
$2a < b + c$
Прибавим к обеим частям полученного неравенства переменную $a$:$2a + a < a + b + c$
$3a < a + b + c$
Разделим обе части на положительное число 3. Знак неравенства при этом не изменится:$a < \frac{a+b+c}{3}$
Первая часть доказана.

Доказательство неравенства $\frac{a+b+c}{3} < c$

Снова воспользуемся условием $a < b < c$. Из него следуют неравенства:$a < c$$b < c$
Сложим их почленно:$a + b < c + c$
$a + b < 2c$
Прибавим к обеим частям полученного неравенства переменную $c$:$a + b + c < 2c + c$
$a + b + c < 3c$
Разделим обе части на положительное число 3, сохранив знак неравенства:$\frac{a+b+c}{3} < c$
Вторая часть доказана.

Поскольку мы доказали, что $a < \frac{a+b+c}{3}$ и $\frac{a+b+c}{3} < c$, то исходное двойное неравенство $a < \frac{a+b+c}{3} < c$ является верным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.