Номер 17.2, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.2, страница 168.

Условие.

17.2. Докажите неравенство:

1) $(2a - 5)^2 \le 6a^2 - 20a + 25;$

2) $a^2 + 4 \ge 4a.$

Решение.

1) Чтобы доказать неравенство $(2a - 5)^2 \le 6a^2 - 20a + 25$, раскроем скобки в левой части и преобразуем неравенство.

Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ для левой части:

$(2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 \le 6a^2 - 20a + 25$

$4a^2 - 20a + 25 \le 6a^2 - 20a + 25$

Теперь перенесем все слагаемые в правую часть неравенства:

$0 \le (6a^2 - 20a + 25) - (4a^2 - 20a + 25)$

$0 \le 6a^2 - 20a + 25 - 4a^2 + 20a - 25$

Приведем подобные члены:

$0 \le (6a^2 - 4a^2) + (-20a + 20a) + (25 - 25)$

$0 \le 2a^2$

Данное неравенство верно для любого значения $a$, так как квадрат любого числа $a^2$ всегда неотрицателен ($a^2 \ge 0$), и умножение на положительное число 2 не изменяет знака. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Чтобы доказать неравенство $a^2 + 4 \ge 4a$, перенесем все члены в левую часть.

$a^2 - 4a + 4 \ge 0$

Заметим, что выражение в левой части представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$:

$a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 \ge 0$

Свернем левую часть в квадрат разности:

$(a - 2)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, полученное неравенство верно для любого значения $a$. А так как оно равносильно исходному, то и исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.