Номер 16.27, страница 164 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - номер 16.27, страница 164.

Условие.

16.27. Решите уравнение $(12x - 1)(6x - 1)(4x - 1)(3x - 1) = 5$.

Решение.

Дано уравнение: $(12x - 1)(6x - 1)(4x - 1)(3x - 1) = 5$.

Для решения этого уравнения сгруппируем множители. Перемножим первую скобку с четвертой и вторую с третьей. Это позволит нам получить похожие выражения.

1. $(12x - 1)(3x - 1) = 36x^2 - 12x - 3x + 1 = 36x^2 - 15x + 1$

2. $(6x - 1)(4x - 1) = 24x^2 - 6x - 4x + 1 = 24x^2 - 10x + 1$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:

$(36x^2 - 15x + 1)(24x^2 - 10x + 1) = 5$

Заметим, что в обеих скобках можно выделить общее выражение. Вынесем общие множители за скобки в каждом из двух выражений:

$36x^2 - 15x = 3(12x^2 - 5x)$

$24x^2 - 10x = 2(12x^2 - 5x)$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 12x^2 - 5x$. Тогда уравнение примет вид:

$(3y + 1)(2y + 1) = 5$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$6y^2 + 3y + 2y + 1 = 5$

$6y^2 + 5y - 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 6} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3}$

$y_2 = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1. Если $y = \frac{1}{2}$

$12x^2 - 5x = \frac{1}{2}$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$24x^2 - 10x = 1$

$24x^2 - 10x - 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 24 \cdot (-1) = 100 + 96 = 196 = 14^2$.

Корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{10 + 14}{2 \cdot 24} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{10 - 14}{2 \cdot 24} = \frac{-4}{48} = -\frac{1}{12}$

2. Если $y = -\frac{4}{3}$

$12x^2 - 5x = -\frac{4}{3}$

Умножим обе части на 3:

$36x^2 - 15x = -4$

$36x^2 - 15x + 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-15)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 4 = 225 - 576 = -351$.

Так как $D < 0$, в этом случае уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -\frac{1}{12}$.