Номер 16.23, страница 164 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - номер 16.23, страница 164.

Условие.

16.23. При каких значениях параметра $a$ система

$ \begin{cases} x^2 + (5a + 2)x + 4a^2 + 2a < 0, \\ x^2 + a^2 = 4 \end{cases} $

имеет решения?

Решение.

Данная система состоит из неравенства и уравнения:

$\begin{cases} x^2 + (5a + 2)x + 4a^2 + 2a < 0, \\ x^2 + a^2 = 4 \end{cases}$

1. Анализ области допустимых значений

Из второго уравнения системы $x^2 + a^2 = 4$ можно выразить $x^2$ как $x^2 = 4 - a^2$.

Для того чтобы уравнение имело действительные решения для $x$, необходимо, чтобы $x^2 \ge 0$. Следовательно, должно выполняться условие $4 - a^2 \ge 0$, что эквивалентно $a^2 \le 4$.

Это означает, что параметр $a$ должен принадлежать отрезку $a \in [-2, 2]$.

При этих значениях $a$ уравнение $x^2 = 4 - a^2$ имеет два решения $x = \pm \sqrt{4 - a^2}$ (или одно решение $x=0$, если $a = \pm 2$).

2. Преобразование неравенства

Рассмотрим первое неравенство системы: $x^2 + (5a + 2)x + 4a^2 + 2a < 0$.

Левая часть является квадратным трехчленом относительно $x$. Найдем его корни. Для этого решим уравнение $x^2 + (5a + 2)x + 4a^2 + 2a = 0$.

Дискриминант $D$ этого уравнения равен:

$D = (5a + 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4a^2 + 2a) = (25a^2 + 20a + 4) - (16a^2 + 8a) = 9a^2 + 12a + 4 = (3a + 2)^2$.

Так как $D \ge 0$ при любых $a$, корни всегда действительные. Найдем их:

$x_{1,2} = \frac{-(5a+2) \pm \sqrt{(3a+2)^2}}{2} = \frac{-(5a+2) \pm (3a+2)}{2}$.

Первый корень: $x_1 = \frac{-5a-2 - (3a+2)}{2} = \frac{-8a-4}{2} = -4a-2$.

Второй корень: $x_2 = \frac{-5a-2 + (3a+2)}{2} = \frac{-2a}{2} = -a$.

Таким образом, неравенство можно переписать в виде $(x - x_1)(x - x_2) < 0$, то есть $(x + 4a + 2)(x + a) < 0$.

3. Условие существования решения системы

Система будет иметь решение, если хотя бы одно из значений $x$, удовлетворяющих уравнению $x^2 + a^2 = 4$ (то есть $x = \sqrt{4 - a^2}$ или $x = -\sqrt{4 - a^2}$), будет удовлетворять неравенству $(x + 4a + 2)(x + a) < 0$.

Это равносильно выполнению хотя бы одного из двух условий:

1) $(\sqrt{4-a^2} + 4a + 2)(\sqrt{4-a^2} + a) < 0$

2) $(-\sqrt{4-a^2} + 4a + 2)(-\sqrt{4-a^2} + a) < 0$

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Проверка для $x = \sqrt{4-a^2}$

Необходимо решить неравенство $(\sqrt{4-a^2} + a)(\sqrt{4-a^2} + 4a + 2) < 0$.

Это произведение меньше нуля, если множители имеют разные знаки. Исследуем знак каждого множителя на области определения $a \in [-2, 2]$.

Знак первого множителя $\sqrt{4-a^2} + a$: он обращается в ноль при $\sqrt{4-a^2} = -a$, что после возведения в квадрат (при условии $a \le 0$) дает $4-a^2 = a^2$, или $2a^2=4$, откуда $a=-\sqrt{2}$. Множитель положителен при $a > -\sqrt{2}$ и отрицателен при $a < -\sqrt{2}$.

Знак второго множителя $\sqrt{4-a^2} + 4a + 2$: он обращается в ноль при $\sqrt{4-a^2} = -4a-2$, что после возведения в квадрат (при условии $a \le -1/2$) дает $4-a^2 = 16a^2+16a+4$, или $17a^2+16a=0$. Корни $a=0$ и $a=-16/17$. Условию $a \le -1/2$ удовлетворяет только $a=-16/17$. Множитель положителен при $a > -16/17$ и отрицателен при $a < -16/17$.

Теперь найдем, где произведение отрицательно. Используем метод интервалов на отрезке $[-2, 2]$ с точками $-\sqrt{2}$ и $-16/17$.

При $a \in [-2, -\sqrt{2})$ оба множителя отрицательны, произведение положительно.

При $a \in (-\sqrt{2}, -16/17)$ первый множитель положителен, второй отрицателен, произведение отрицательно.

При $a \in (-16/17, 2]$ оба множителя положительны, произведение положительно.

Следовательно, решение для первого случая: $a \in (-\sqrt{2}, -16/17)$.

Случай 2: Проверка для $x = -\sqrt{4-a^2}$

Необходимо решить неравенство $(-\sqrt{4-a^2} + a)(-\sqrt{4-a^2} + 4a + 2) < 0$, которое эквивалентно $(\sqrt{4-a^2} - a)(\sqrt{4-a^2} - (4a + 2)) < 0$.

Исследуем знак каждого множителя на $a \in [-2, 2]$.

Знак первого множителя $\sqrt{4-a^2} - a$: он обращается в ноль при $\sqrt{4-a^2} = a$, что при $a \ge 0$ дает $a=\sqrt{2}$. Множитель положителен при $a < \sqrt{2}$ и отрицателен при $a > \sqrt{2}$.

Знак второго множителя $\sqrt{4-a^2} - 4a - 2$: он обращается в ноль при $\sqrt{4-a^2} = 4a+2$, что при $a \ge -1/2$ дает $a=0$. Множитель положителен при $a < 0$ и отрицателен при $a > 0$.

Используем метод интервалов на отрезке $[-2, 2]$ с точками $0$ и $\sqrt{2}$.

При $a \in [-2, 0)$ оба множителя положительны, произведение положительно.

При $a \in (0, \sqrt{2})$ первый множитель положителен, второй отрицателен, произведение отрицательно.

При $a \in (\sqrt{2}, 2]$ оба множителя отрицательны, произведение положительно.

Следовательно, решение для второго случая: $a \in (0, \sqrt{2})$.

4. Итоговый результат

Система имеет решения, если выполняется условие из случая 1 или из случая 2. Поэтому итоговое множество значений параметра $a$ является объединением полученных интервалов.

Объединяя $a \in (-\sqrt{2}, -16/17)$ и $a \in (0, \sqrt{2})$, получаем окончательный ответ.

Ответ: $a \in (-\sqrt{2}, -16/17) \cup (0, \sqrt{2})$.