Номер 16.17, страница 163 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - номер 16.17, страница 163.

Условие.

16.17. Изобразите график неравенства:

1) $|x^2 - 1| \ge y^2 - 1;$

2) $|x^2 + y^2 - 2| \le 2(x + y).$

Решение.

1) $|x^2 - 1| \ge y^2 - 1$

Для решения этого неравенства раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: Выражение под модулем неотрицательно: $x^2 - 1 \ge 0$.

Это условие выполняется при $x^2 \ge 1$, то есть при $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

В этом случае $|x^2 - 1| = x^2 - 1$, и исходное неравенство принимает вид:

$x^2 - 1 \ge y^2 - 1$

$x^2 \ge y^2$

Это неравенство равносильно $|x| \ge |y|$. Геометрически это означает, что для любого $x$ из рассматриваемой области, $y$ должен находиться в пределах от $-|x|$ до $|x|$, то есть $-|x| \le y \le |x|$. Эта область находится между прямыми $y = x$ и $y = -x$ (включая сами прямые).

Итак, для $x \le -1$ и $x \ge 1$ решением является область, заключенная между прямыми $y=x$ и $y=-x$.

Случай 2: Выражение под модулем отрицательно: $x^2 - 1 < 0$.

Это условие выполняется при $x^2 < 1$, то есть при $x \in (-1, 1)$.

В этом случае $|x^2 - 1| = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$, и исходное неравенство принимает вид:

$1 - x^2 \ge y^2 - 1$

$2 \ge x^2 + y^2$

Неравенство $x^2 + y^2 \le 2$ описывает круг с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{2}$, включая его границу.

Итак, для $-1 < x < 1$ решением является часть этого круга, находящаяся в указанной вертикальной полосе.

Объединение решений:

График неравенства представляет собой объединение решений из двух случаев:

• Вне полосы $-1 < x < 1$ (т.е. при $x \le -1$ и $x \ge 1$) — это область между прямыми $y=x$ и $y=-x$.
• Внутри полосы $-1 < x < 1$ — это часть круга $x^2+y^2 \le 2$.

Заметим, что на границах полос, при $x=\pm 1$, оба случая дают одинаковые условия. Например, при $x=1$: $|y| \le 1$ из первого случая и $1^2+y^2 \le 2 \implies y^2 \le 1 \implies |y| \le 1$ из второго. Это означает, что границы областей совпадают в точках $(\pm 1, \pm 1)$.

Графическое изображение решения представлено ниже.

Ответ: Искомое множество точек — это объединение двух областей: 1) часть круга $x^2+y^2 \le 2$, лежащая в полосе $-1 < x < 1$; 2) область, заключенная между прямыми $y=x$ и $y=-x$ для $x \le -1$ и $x \ge 1$.

---

2) $|x^2 + y^2 - 2| \le 2(x + y)$

Данное неравенство с модулем равносильно системе двух неравенств при условии, что правая часть неотрицательна.

1. Условие неотрицательности правой части: $2(x + y) \ge 0 \implies x + y \ge 0 \implies y \ge -x$. Это означает, что все решения должны лежать на прямой $y=-x$ или выше неё.

2. Раскрываем модуль: $-2(x+y) \le x^2 + y^2 - 2 \le 2(x+y)$.

Это двойное неравенство можно разбить на систему из двух неравенств:

a) $x^2 + y^2 - 2 \le 2(x + y)$

b) $x^2 + y^2 - 2 \ge -2(x + y)$

Рассмотрим каждое из них, преобразуя к каноническому виду уравнения окружности, выделяя полные квадраты.

Неравенство (a):

$x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 \le 0$

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) - 2 - 1 - 1 \le 0$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \le 4$

Это неравенство описывает круг с центром в точке $C_1(1, 1)$ и радиусом $R_1 = 2$, включая его границу.

Неравенство (b):

$x^2 + y^2 + 2x + 2y - 2 \ge 0$

$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) - 2 - 1 - 1 \ge 0$

$(x + 1)^2 + (y + 1)^2 \ge 4$

Это неравенство описывает область вне круга с центром в точке $C_2(-1, -1)$ и радиусом $R_2 = 2$, включая его границу.

Объединение решений:

Искомое множество точек должно удовлетворять всем трем условиям одновременно:

• Находиться внутри или на границе окружности $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4$.
• Находиться вне или на границе окружности $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 4$.
• Находиться на прямой $y = -x$ или выше нее ($y \ge -x$).

Найдем точки пересечения двух окружностей, вычтя одно уравнение из другого:

$(x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1) - (x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y + 1) = 4 - 4$

$-4x - 4y = 0 \implies y = -x$

Окружности пересекаются на прямой $y=-x$. Подставим $y=-x$ в уравнение первой окружности:

$(x-1)^2 + (-x-1)^2 = 4 \implies (x-1)^2 + (x+1)^2 = 4 \implies (x^2-2x+1) + (x^2+2x+1) = 4 \implies 2x^2+2=4 \implies x^2=1 \implies x = \pm 1$.

Точки пересечения: $(1, -1)$ и $(-1, 1)$.

Таким образом, решением является область, ограниченная дугой первой окружности и дугой второй окружности, соединяющими точки $(-1, 1)$ и $(1, -1)$. Условие $y \ge -x$ выполняется для всех точек этой области, так как она лежит "выше" прямой $y=-x$, на которой находятся точки пересечения.

Графическое изображение решения представлено ниже.

Ответ: Искомое множество точек — это область, находящаяся одновременно внутри круга с центром в $(1,1)$ и радиусом 2, и вне круга с центром в $(-1,-1)$ и радиусом 2. Граница этой области состоит из двух дуг окружностей, соединяющих точки их пересечения $(-1, 1)$ и $(1, -1)$.