Номер 17.4, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.4, страница 168.

Условие.

17.4. Докажите неравенство:

1) $28a - 32 \le 7a^2 - 4;$

2) $16x^2 - 8xy + 2y^2 \ge 0;$

3) $3(b - 1) < b(b + 1).$

Решение.

1) Докажем неравенство $28a - 32 \leq 7a^2 - 4$.

Для доказательства перенесем все члены неравенства в правую часть:

$0 \leq 7a^2 - 4 - 28a + 32$

Приведем подобные слагаемые:

$0 \leq 7a^2 - 28a + 28$

Это неравенство равносильно следующему:

$7a^2 - 28a + 28 \geq 0$

Вынесем общий множитель 7 за скобки:

$7(a^2 - 4a + 4) \geq 0$

Выражение в скобках представляет собой формулу квадрата разности: $a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a-2)^2$.

Таким образом, неравенство принимает вид:

$7(a - 2)^2 \geq 0$

Квадрат любого действительного числа $(a - 2)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(a - 2)^2 \geq 0$.

Произведение положительного числа 7 на неотрицательное число $(a - 2)^2$ также всегда будет неотрицательным.

Следовательно, неравенство $7(a - 2)^2 \geq 0$ верно для любого значения $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Докажем неравенство $16x^2 - 8xy + 2y^2 \geq 0$.

Преобразуем левую часть неравенства, выделив полный квадрат.

Заметим, что $16x^2 = (4x)^2$ и $-8xy = -2 \cdot (4x) \cdot y$. Чтобы получить полный квадрат $(4x-y)^2$, нам необходимо слагаемое $y^2$.

Представим $2y^2$ в виде суммы $y^2 + y^2$:

$16x^2 - 8xy + 2y^2 = (16x^2 - 8xy + y^2) + y^2$

Первые три слагаемых образуют полный квадрат:

$(16x^2 - 8xy + y^2) + y^2 = (4x - y)^2 + y^2$

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству $(4x - y)^2 + y^2 \geq 0$.

Выражение $(4x - y)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(4x - y)^2 \geq 0$.

Выражение $y^2$ также является квадратом и всегда неотрицательно: $y^2 \geq 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел всегда неотрицательна. Следовательно, $(4x - y)^2 + y^2 \geq 0$ для любых действительных значений $x$ и $y$.

Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

3) Докажем неравенство $3(b - 1) < b(b + 1)$.

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$3b - 3 < b^2 + b$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 < b^2 + b - 3b + 3$

Приведем подобные слагаемые:

$0 < b^2 - 2b + 3$

Рассмотрим выражение в правой части $b^2 - 2b + 3$. Выделим в нем полный квадрат, прибавив и вычтя 1:

$b^2 - 2b + 3 = (b^2 - 2b + 1) + 2$

Выражение в скобках является квадратом разности $(b-1)^2$:

$(b - 1)^2 + 2$

Таким образом, неравенство принимает вид $0 < (b - 1)^2 + 2$.

Квадрат любого действительного числа $(b - 1)^2$ всегда неотрицателен: $(b - 1)^2 \geq 0$.

Если к неотрицательному числу прибавить положительное число 2, результат будет всегда строго положительным:

$(b - 1)^2 + 2 \geq 0 + 2 = 2$

Так как $2 > 0$, то и выражение $(b - 1)^2 + 2$ всегда больше нуля для любого значения $b$.

Следовательно, исходное неравенство верно.

Ответ: Неравенство доказано.