Номер 17.28, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.28, страница 170.

Условие.

17.28. Докажите, что если $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$ и $d \ge 0$, то

$\sqrt{(a + c)(b + d)} \ge \sqrt{ab} + \sqrt{cd}$.

Решение.

Поскольку по условию $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0, d \ge 0$, обе части доказываемого неравенства $\sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab} + \sqrt{cd}$ являются неотрицательными. Это позволяет нам возвести обе части в квадрат, при этом знак неравенства сохранится.

$(\sqrt{(a+c)(b+d)})^2 \ge (\sqrt{ab} + \sqrt{cd})^2$

Выполним преобразования. В левой части убираем корень, а в правой используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(a+c)(b+d) \ge (\sqrt{ab})^2 + 2 \cdot \sqrt{ab} \cdot \sqrt{cd} + (\sqrt{cd})^2$

$(a+c)(b+d) \ge ab + 2\sqrt{abcd} + cd$

Теперь раскроем скобки в левой части неравенства:

$ab + ad + bc + cd \ge ab + 2\sqrt{abcd} + cd$

Сократим одинаковые слагаемые ($ab$ и $cd$) в обеих частях:

$ad + bc \ge 2\sqrt{abcd}$

Перенесем член из правой части в левую:

$ad - 2\sqrt{abcd} + bc \ge 0$

Заметим, что левая часть является полным квадратом разности. Так как $ad = (\sqrt{ad})^2$ и $bc = (\sqrt{bc})^2$, получаем:

$(\sqrt{ad})^2 - 2\sqrt{ad}\sqrt{bc} + (\sqrt{bc})^2 \ge 0$

$(\sqrt{ad} - \sqrt{bc})^2 \ge 0$

Полученное неравенство истинно, поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Так как все выполненные преобразования были равносильными (поскольку мы работали с неотрицательными числами), то и исходное неравенство является верным.

Ответ: Неравенство доказано.