Номер 17.33, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.33, страница 170.

Условие.

17.33. Докажите, что если $a > 0$, $b > 0$ и $c > 0$, то $\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} > 1$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся условием, что $a, b, c$ — положительные числа.

Рассмотрим каждое из трёх слагаемых в левой части неравенства по отдельности.

1. Для первого слагаемого $\frac{a}{a+b}$:

Поскольку по условию $c > 0$, мы можем добавить $c$ к знаменателю, что увеличит его значение. Так как числитель и знаменатель положительны, увеличение знаменателя уменьшит значение дроби. Следовательно:

$a+b < a+b+c$

$\frac{1}{a+b} > \frac{1}{a+b+c}$

Умножим обе части на положительное число $a$ (так как $a > 0$, знак неравенства не изменится):

$\frac{a}{a+b} > \frac{a}{a+b+c}$

2. Для второго слагаемого $\frac{b}{b+c}$:

Аналогично, поскольку $a > 0$, имеем:

$b+c < a+b+c$

$\frac{1}{b+c} > \frac{1}{a+b+c}$

Умножим обе части на положительное число $b$:

$\frac{b}{b+c} > \frac{b}{a+b+c}$

3. Для третьего слагаемого $\frac{c}{c+a}$:

Аналогично, поскольку $b > 0$, имеем:

$c+a < a+b+c$

$\frac{1}{c+a} > \frac{1}{a+b+c}$

Умножим обе части на положительное число $c$:

$\frac{c}{c+a} > \frac{c}{a+b+c}$

Теперь сложим три полученных строгих неравенства:

$\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} > \frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{a+b+c} + \frac{c}{a+b+c}$

Упростим правую часть, сложив дроби с общим знаменателем:

$\frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{a+b+c} + \frac{c}{a+b+c} = \frac{a+b+c}{a+b+c} = 1$

Таким образом, мы доказали, что:

$\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} > 1$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.