Номер 17.36, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.36, страница 170.

Условие.

17.36. Докажите неравенство

$(a^4b^4 + 36)(4a^4 + 9b^4) \ge 144a^4b^4$

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух неотрицательных чисел $x$ и $y$, которое имеет вид: $x + y \ge 2\sqrt{xy}$.

Поскольку $a^4 \ge 0$ и $b^4 \ge 0$ для любых действительных чисел $a$ и $b$, все выражения в скобках являются неотрицательными.

1. Рассмотрим первый множитель $(a^4b^4 + 36)$. Применим к слагаемым $a^4b^4$ и $36$ неравенство Коши:

$a^4b^4 + 36 \ge 2\sqrt{a^4b^4 \cdot 36} = 2\sqrt{36a^4b^4} = 2 \cdot 6a^2b^2 = 12a^2b^2$.

Таким образом, мы получили первое неравенство:

$a^4b^4 + 36 \ge 12a^2b^2 \quad (1)$

2. Рассмотрим второй множитель $(4a^4 + 9b^4)$. Применим к слагаемым $4a^4$ и $9b^4$ неравенство Коши:

$4a^4 + 9b^4 \ge 2\sqrt{4a^4 \cdot 9b^4} = 2\sqrt{36a^4b^4} = 2 \cdot 6a^2b^2 = 12a^2b^2$.

Таким образом, мы получили второе неравенство:

$4a^4 + 9b^4 \ge 12a^2b^2 \quad (2)$

3. Поскольку обе части в неравенствах (1) и (2) являются неотрицательными, мы можем их перемножить, не меняя знака неравенства:

$(a^4b^4 + 36)(4a^4 + 9b^4) \ge (12a^2b^2)(12a^2b^2)$

Выполним умножение в правой части:

$(a^4b^4 + 36)(4a^4 + 9b^4) \ge 144a^4b^4$

Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.