Номер 17.42, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.42, страница 170.

Условие.

17.42. Докажите неравенство $4a^2 + b^2 + 1 \ge 2ab + 2a + b$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства перенесем все члены из правой части в левую:

$4a^2 + b^2 + 1 - 2ab - 2a - b \ge 0$

Преобразуем полученное выражение, сгруппировав слагаемые таким образом, чтобы выделить полные квадраты. Для удобства умножим обе части неравенства на 2. Знак неравенства при этом не изменится.

$8a^2 + 2b^2 + 2 - 4ab - 4a - 2b \ge 0$

Теперь сгруппируем слагаемые. Представим $8a^2$ как $4a^2 + 4a^2$, а $2b^2$ как $b^2 + b^2$, а 2 как $1 + 1$.

$(4a^2 - 4ab + b^2) + (4a^2 - 4a + 1) + (b^2 - 2b + 1) \ge 0$

Каждое выражение в скобках является полным квадратом по формулам $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$:

$(2a - b)^2 + (2a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$

Полученное выражение является суммой трех квадратов. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю):

• $(2a - b)^2 \ge 0$
• $(2a - 1)^2 \ge 0$
• $(b - 1)^2 \ge 0$

Сумма трех неотрицательных чисел также всегда является неотрицательной. Следовательно, неравенство $(2a - b)^2 + (2a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$ верно для любых значений a и b.

Таким образом, исходное неравенство $4a^2 + b^2 + 1 \ge 2ab + 2a + b$ доказано.

Ответ: Неравенство доказано.