Номер 17.44, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.44, страница 171.

Условие.

17.44. Докажите, что если $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$, то $a + b + c \ge \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся методом алгебраических преобразований. Исходное неравенство:

$a + b + c \ge \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}$

Умножим обе части неравенства на 2. Так как 2 > 0, знак неравенства не изменится:

$2(a + b + c) \ge 2(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca})$

$2a + 2b + 2c \ge 2\sqrt{ab} + 2\sqrt{bc} + 2\sqrt{ca}$

Перенесём все члены из правой части в левую:

$2a + 2b + 2c - 2\sqrt{ab} - 2\sqrt{bc} - 2\sqrt{ca} \ge 0$

Теперь сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы выделить полные квадраты разности. Для этого представим $2a$ как $a+a$, $2b$ как $b+b$, и $2c$ как $c+c$:

$(a - 2\sqrt{ab} + b) + (b - 2\sqrt{bc} + c) + (c - 2\sqrt{ca} + a) \ge 0$

Каждое выражение в скобках представляет собой формулу квадрата разности. Так как по условию $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$, то выражения $\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c}$ являются действительными числами. Свернем каждую скобку:

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 + (\sqrt{b} - \sqrt{c})^2 + (\sqrt{c} - \sqrt{a})^2 \ge 0$

Полученное неравенство является верным, так как:

1. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом, то есть $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$, $(\sqrt{b} - \sqrt{c})^2 \ge 0$ и $(\sqrt{c} - \sqrt{a})^2 \ge 0$.
2. Сумма нескольких неотрицательных чисел также является неотрицательным числом.

Поскольку все преобразования были равносильными, а итоговое неравенство истинно, то и исходное неравенство $a + b + c \ge \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}$ также является верным. Равенство достигается тогда и только тогда, когда все квадраты равны нулю, то есть при $\sqrt{a} = \sqrt{b} = \sqrt{c}$, что эквивалентно $a = b = c$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.