Номер 17.43, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.43, страница 171.

Условие.

17.43. Докажите, что если $a > 0, b > 0 \text{ и } c > 0$, то $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{1}{\sqrt{ab}} + \frac{1}{\sqrt{bc}} + \frac{1}{\sqrt{ca}}$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся методом алгебраических преобразований. Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства и докажем, что она неотрицательна.

$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - \frac{1}{\sqrt{ab}} - \frac{1}{\sqrt{bc}} - \frac{1}{\sqrt{ca}} \ge 0 $$

Умножим обе части неравенства на 2, что не изменит его знака, так как 2 — положительное число:

$$ \frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c} - \frac{2}{\sqrt{ab}} - \frac{2}{\sqrt{bc}} - \frac{2}{\sqrt{ca}} \ge 0 $$

Теперь сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы можно было выделить полные квадраты разности. Заметим, что $\frac{1}{a} = \left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2$, $\frac{1}{b} = \left(\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2$, $\frac{1}{c} = \left(\frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2$, а смешанные члены вида $\frac{2}{\sqrt{ab}}$ являются удвоенными произведениями $\frac{1}{\sqrt{a}}$ и $\frac{1}{\sqrt{b}}$.

$$ \left(\frac{1}{a} - \frac{2}{\sqrt{ab}} + \frac{1}{b}\right) + \left(\frac{1}{b} - \frac{2}{\sqrt{bc}} + \frac{1}{c}\right) + \left(\frac{1}{c} - \frac{2}{\sqrt{ca}} + \frac{1}{a}\right) \ge 0 $$

Каждая из скобок представляет собой формулу квадрата разности:

$$ \left(\frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{c}} - \frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2 \ge 0 $$

Данное неравенство является верным, поскольку квадрат любого действительного числа — величина неотрицательная, а сумма неотрицательных величин также неотрицательна. Равенство в данном неравенстве достигается только в том случае, когда все слагаемые равны нулю, то есть:

$$ \frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{b}} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{b}} \quad \Rightarrow \quad a=b $$

$$ \frac{1}{\sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{c}} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{b}} = \frac{1}{\sqrt{c}} \quad \Rightarrow \quad b=c $$

$$ \frac{1}{\sqrt{c}} - \frac{1}{\sqrt{a}} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{c}} = \frac{1}{\sqrt{a}} \quad \Rightarrow \quad c=a $$

Следовательно, равенство имеет место при $a = b = c$.

Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.