Номер 17.34, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.34, страница 170.

Условие.

17.34. Докажите, что если $a > 0, b > 0, c > 0$, то $\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} < 2$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства рассмотрим каждое слагаемое в левой части по отдельности.

Поскольку по условию $a, b, c$ — положительные числа, мы можем сделать следующие оценки для каждого слагаемого.

Рассмотрим первое слагаемое $\frac{a}{a+b}$. Так как $c > 0$, то очевидно, что $a+b < a+b+c$. Это можно использовать для сравнения. Сравним дробь $\frac{a}{a+b}$ с дробью $\frac{a+c}{a+b+c}$. Для этого приведем их к общему знаменателю или воспользуемся перекрестным умножением (что возможно, так как все знаменатели положительны):

$a(a+b+c)$ и $(a+b)(a+c)$

Раскроем скобки в обоих выражениях:

$a^2 + ab + ac$ и $a^2 + ac + ab + bc$

Сравнивая эти два выражения, мы видим, что второе выражение больше первого на величину $bc$. Так как $b > 0$ и $c > 0$, то произведение $bc > 0$.

Следовательно, $a^2 + ab + ac < a^2 + ab + ac + bc$, из чего следует, что $a(a+b+c) < (a+b)(a+c)$.

Разделив обе части этого неравенства на положительное число $(a+b)(a+b+c)$, получим:

$\frac{a}{a+b} < \frac{a+c}{a+b+c}$

Аналогичные рассуждения можно применить и к двум другим слагаемым, циклически заменяя переменные ($a \rightarrow b, b \rightarrow c, c \rightarrow a$):

Для второго слагаемого $\frac{b}{b+c}$:

$\frac{b}{b+c} < \frac{b+a}{b+c+a} = \frac{a+b}{a+b+c}$

Для третьего слагаемого $\frac{c}{c+a}$:

$\frac{c}{c+a} < \frac{c+b}{c+a+b} = \frac{b+c}{a+b+c}$

Теперь сложим три полученных неравенства:

$\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} < \frac{a+c}{a+b+c} + \frac{a+b}{a+b+c} + \frac{b+c}{a+b+c}$

Правая часть представляет собой сумму дробей с одинаковым знаменателем. Сложим их числители:

$\frac{(a+c) + (a+b) + (b+c)}{a+b+c} = \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}$

Вынесем общий множитель 2 в числителе:

$\frac{2(a+b+c)}{a+b+c} = 2$

Таким образом, мы получили, что:

$\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} < 2$

Неравенство доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.