Номер 18.1, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.1, страница 180.

Условие.

18.1. Для положительных чисел $a$ и $b$ докажите неравенство

$\frac{a}{16b} + \frac{25b}{a} \ge \frac{5}{2}$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства выполним равносильные преобразования. Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{a}{16b} + \frac{25b}{a} - \frac{5}{2} \ge 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $16ab$. Так как по условию задачи числа $a$ и $b$ положительные, то знаменатель $16ab$ также положителен.

$\frac{a \cdot a}{16ab} + \frac{25b \cdot 16b}{16ab} - \frac{5 \cdot 8ab}{16ab} \ge 0$

$\frac{a^2 + 400b^2 - 40ab}{16ab} \ge 0$

Поскольку знаменатель $16ab$ положителен, знак дроби определяется знаком ее числителя. Следовательно, данное неравенство равносильно неравенству:

$a^2 - 40ab + 400b^2 \ge 0$

Заметим, что выражение в левой части является полным квадратом разности, так как $a^2 - 40ab + 400b^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot (20b) + (20b)^2$.

Таким образом, неравенство можно переписать в виде:

$(a - 20b)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной. Так как $a$ и $b$ — положительные числа, выражение $(a - 20b)$ является действительным числом, и его квадрат всегда больше или равен нулю. Равенство достигается, когда $a - 20b = 0$, то есть при $a = 20b$.

Таким образом, исходное неравенство справедливо для всех положительных чисел $a$ и $b$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.