Номер 18.5, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.5, страница 180.

Условие.

18.5. Докажите, что если $a \geq 0$ и $b \geq 0$, то $(a^3+b)(b^3+a) \geq 4a^2b^2$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенством Коши) для двух неотрицательных чисел $x$ и $y$, которое имеет вид: $x+y \ge 2\sqrt{xy}$.

По условию задачи $a \ge 0$ и $b \ge 0$. Это означает, что все переменные и их степени в выражении также неотрицательны. Следовательно, мы можем применить неравенство Коши к суммам в каждой из скобок в левой части исходного неравенства.

1. Применим неравенство Коши для выражения в первой скобке, взяв $x = a^3$ и $y = b$:
$a^3 + b \ge 2\sqrt{a^3 \cdot b}$

2. Применим неравенство Коши для выражения во второй скобке, взяв $x = b^3$ и $y = a$:
$b^3 + a \ge 2\sqrt{b^3 \cdot a}$

Поскольку обе части каждого из этих неравенств неотрицательны, мы можем их перемножить, при этом знак неравенства сохранится:
$(a^3 + b)(b^3 + a) \ge (2\sqrt{a^3b}) \cdot (2\sqrt{b^3a})$

Теперь упростим правую часть полученного неравенства:
$(2\sqrt{a^3b}) \cdot (2\sqrt{b^3a}) = 4\sqrt{a^3b \cdot b^3a} = 4\sqrt{a^{3+1}b^{1+3}} = 4\sqrt{a^4b^4}$

Так как $\sqrt{a^4b^4} = \sqrt{(a^2b^2)^2}$ и $a^2b^2 \ge 0$, то $\sqrt{(a^2b^2)^2} = a^2b^2$.

Таким образом, мы приходим к неравенству:
$(a^3 + b)(b^3 + a) \ge 4a^2b^2$

Неравенство доказано.

Ответ: Утверждение доказано с помощью двукратного применения неравенства Коши.