Номер 18.2, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.2, страница 180.

Условие.

18.2. Для положительных чисел $x$ и $y$ докажите неравенство

$\frac{3x}{y} + \frac{y}{27x} \geq \frac{2}{3}$.

Решение.

18.2. Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенством Коши) для двух положительных чисел $a$ и $b$, которое утверждает, что $a+b \geq 2\sqrt{ab}$.

По условию, числа $x$ и $y$ положительны ($x > 0$, $y > 0$). Следовательно, слагаемые в левой части доказываемого неравенства, $a = \frac{3x}{y}$ и $b = \frac{y}{27x}$, также являются положительными числами.

Применим неравенство Коши к этим двум слагаемым:

$\frac{3x}{y} + \frac{y}{27x} \geq 2\sqrt{\frac{3x}{y} \cdot \frac{y}{27x}}$

Упростим выражение, стоящее под знаком корня в правой части неравенства:

$\frac{3x}{y} \cdot \frac{y}{27x} = \frac{3xy}{27xy} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$

Подставим полученный результат обратно в неравенство:

$\frac{3x}{y} + \frac{y}{27x} \geq 2\sqrt{\frac{1}{9}}$

$\frac{3x}{y} + \frac{y}{27x} \geq 2 \cdot \frac{1}{3}$

$\frac{3x}{y} + \frac{y}{27x} \geq \frac{2}{3}$

Таким образом, исходное неравенство доказано. Равенство достигается в случае, когда слагаемые равны: $\frac{3x}{y} = \frac{y}{27x}$, что эквивалентно $81x^2 = y^2$. Учитывая, что $x$ и $y$ положительны, получаем $y = 9x$.

Ответ: Неравенство доказано.