Номер 18.61, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.61, страница 183.

Условие.

18.61. Докажите неравенство

$\sqrt{(a+b-1)^2 + 2c^2} + \sqrt{(b+c-1)^2 + 2a^2} + \sqrt{(c+a-1)^2 + 2b^2} \ge \sqrt{3}.$

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся геометрической интерпретацией и неравенством Минковского (которое является обобщением неравенства треугольника для векторов).

Рассмотрим левую часть неравенства как сумму длин (модулей) трех векторов на двумерной плоскости. Определим эти векторы следующими координатами:
$\vec{v_1} = (a + b - 1, c\sqrt{2})$;
$\vec{v_2} = (b + c - 1, a\sqrt{2})$;
$\vec{v_3} = (c + a - 1, b\sqrt{2})$.

Тогда левая часть исходного неравенства представляет собой сумму модулей (длин) этих векторов: $$ |\vec{v_1}| + |\vec{v_2}| + |\vec{v_3}| = \sqrt{(a + b - 1)^2 + (c\sqrt{2})^2} + \sqrt{(b + c - 1)^2 + (a\sqrt{2})^2} + \sqrt{(c + a - 1)^2 + (b\sqrt{2})^2} $$ $$ = \sqrt{(a + b - 1)^2 + 2c^2} + \sqrt{(b + c - 1)^2 + 2a^2} + \sqrt{(c + a - 1)^2 + 2b^2} $$

Согласно неравенству Минковского, сумма длин векторов не меньше длины их векторной суммы: $$ |\vec{v_1}| + |\vec{v_2}| + |\vec{v_3}| \ge |\vec{v_1} + \vec{v_2} + \vec{v_3}| $$

Найдем вектор-сумму $\vec{S} = \vec{v_1} + \vec{v_2} + \vec{v_3}$, сложив соответствующие координаты:
Первая координата (абсцисса) вектора $\vec{S}$: $$ (a + b - 1) + (b + c - 1) + (c + a - 1) = 2a + 2b + 2c - 3 = 2(a+b+c) - 3 $$ Вторая координата (ордината) вектора $\vec{S}$: $$ c\sqrt{2} + a\sqrt{2} + b\sqrt{2} = \sqrt{2}(a+b+c) $$ Таким образом, вектор-сумма равен $\vec{S} = (2(a+b+c) - 3, \sqrt{2}(a+b+c))$.

Теперь найдем модуль (длину) вектора $\vec{S}$. Для упрощения записи введем обозначение $S = a+b+c$. $$ |\vec{S}| = \sqrt{(2S - 3)^2 + (\sqrt{2}S)^2} $$ $$ |\vec{S}| = \sqrt{4S^2 - 12S + 9 + 2S^2} $$ $$ |\vec{S}| = \sqrt{6S^2 - 12S + 9} $$

Рассмотрим подкоренное выражение $f(S) = 6S^2 - 12S + 9$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх. Свое наименьшее значение такая функция принимает в вершине.
Найдем абсциссу вершины параболы $S_0$: $$ S_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1 $$ Наименьшее значение функции $f(S)$ равно значению в вершине: $$ f(1) = 6(1)^2 - 12(1) + 9 = 6 - 12 + 9 = 3 $$ Следовательно, наименьшее значение модуля вектора $\vec{S}$ равно $\sqrt{3}$: $$ |\vec{S}| = \sqrt{6S^2 - 12S + 9} \ge \sqrt{3} $$

Объединяя полученные результаты, приходим к выводу: $$ \sqrt{(a + b - 1)^2 + 2c^2} + \sqrt{(b + c - 1)^2 + 2a^2} + \sqrt{(c + a - 1)^2 + 2b^2} \ge |\vec{S}| \ge \sqrt{3} $$ Таким образом, исходное неравенство доказано.

Заметим, что равенство достигается, когда все три вектора коллинеарны и сонаправлены, а их сумма имеет минимальную длину. Это происходит при $a+b+c=1$ и $a=b=c$, откуда следует $a=b=c=1/3$.

Ответ: Неравенство доказано.