Номер 18.67, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.67, страница 184.

Условие.

18.67. При каких значениях параметра $a$ уравнение $(\sqrt{x}-a)(4x-9)=0$ имеет единственное решение?

Решение.

Исходное уравнение: $(\sqrt{x-a})(4x-9)=0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:$x-a \ge 0$, что равносильно $x \ge a$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл. Это приводит к совокупности двух уравнений, решения которых должны удовлетворять ОДЗ:

1) $\sqrt{x-a} = 0 \implies x-a=0 \implies x_1 = a$.

2) $4x-9 = 0 \implies 4x=9 \implies x_2 = \frac{9}{4}$.

Теперь проанализируем полученные корни с учетом ОДЗ ($x \ge a$).

Корень $x_1 = a$ всегда удовлетворяет ОДЗ, так как неравенство $a \ge a$ является верным при любом значении $a$. Следовательно, $x=a$ всегда является одним из решений уравнения.

Корень $x_2 = \frac{9}{4}$ является решением только в том случае, если он удовлетворяет ОДЗ, то есть если выполняется неравенство $\frac{9}{4} \ge a$.

Уравнение будет иметь единственное решение в двух случаях:

Случай 1: Корни совпадают.Это происходит, если $x_1=x_2$, то есть $a = \frac{9}{4}$. В этом случае условие для существования второго корня $\frac{9}{4} \ge a$ превращается в $\frac{9}{4} \ge \frac{9}{4}$, что верно. Таким образом, при $a=\frac{9}{4}$ уравнение имеет единственный корень $x=\frac{9}{4}$.

Случай 2: Корни различны, но только один из них удовлетворяет ОДЗ.Поскольку корень $x_1=a$ существует всегда, для единственности решения необходимо, чтобы корень $x_2=\frac{9}{4}$ не удовлетворял ОДЗ. Это произойдет, если условие $\frac{9}{4} \ge a$ не выполняется, то есть при $\frac{9}{4} < a$, или $a > \frac{9}{4}$. В этом случае единственным решением будет $x=a$.

Объединяя оба случая, получаем, что уравнение имеет единственное решение при $a = \frac{9}{4}$ или при $a > \frac{9}{4}$. Это можно записать в виде одного неравенства.

Ответ: $a \ge \frac{9}{4}$.