Номер 3, страница 188 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Когда сделаны уроки. Упражнения - номер 3, страница 188.

Условие.

3. Докажите, что если $a > 0, b > 0, c > 0$, то $\frac{a^4}{b^3} + \frac{b^4}{c^3} + \frac{c^4}{a^3} \ge a + b + c$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши). Для четырех положительных чисел $x_1, x_2, x_3, x_4$ оно имеет вид:$\frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4} \geq \sqrt[4]{x_1 x_2 x_3 x_4}$.

Применим это неравенство к первому слагаемому левой части исходного неравенства. Выберем четыре положительных числа: $\frac{a^4}{b^3}$, $b$, $b$, $b$. Так как по условию $a > 0$ и $b > 0$, все эти числа положительны.

$\frac{\frac{a^4}{b^3} + b + b + b}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{a^4}{b^3} \cdot b \cdot b \cdot b}$

Преобразуем это выражение:

$\frac{\frac{a^4}{b^3} + 3b}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{a^4}{b^3} \cdot b^3}$

$\frac{\frac{a^4}{b^3} + 3b}{4} \geq \sqrt[4]{a^4}$

Поскольку $a > 0$, то $\sqrt[4]{a^4} = a$. Следовательно, мы получаем первое вспомогательное неравенство:

$\frac{a^4}{b^3} + 3b \geq 4a$

Аналогично, применяя неравенство Коши к двум другим слагаемым, получаем еще два неравенства. Для $\frac{b^4}{c^3}, c, c, c$:

$\frac{b^4}{c^3} + 3c \geq 4b$

И для $\frac{c^4}{a^3}, a, a, a$:

$\frac{c^4}{a^3} + 3a \geq 4c$

Теперь сложим три полученных неравенства:

$(\frac{a^4}{b^3} + 3b) + (\frac{b^4}{c^3} + 3c) + (\frac{c^4}{a^3} + 3a) \geq 4a + 4b + 4c$

Сгруппируем слагаемые в левой части:

$(\frac{a^4}{b^3} + \frac{b^4}{c^3} + \frac{c^4}{a^3}) + 3(a + b + c) \geq 4(a + b + c)$

Вычтем из обеих частей неравенства выражение $3(a+b+c)$:

$\frac{a^4}{b^3} + \frac{b^4}{c^3} + \frac{c^4}{a^3} \geq 4(a + b + c) - 3(a + b + c)$

$\frac{a^4}{b^3} + \frac{b^4}{c^3} + \frac{c^4}{a^3} \geq a + b + c$

Что и требовалось доказать. Равенство достигается тогда и только тогда, когда во всех трех случаях применения неравенства Коши слагаемые равны между собой, то есть когда $a=b=c$.

Ответ: Неравенство доказано.