Номер 2, страница 188 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Когда сделаны уроки. Упражнения - номер 2, страница 188.

Условие.

2. Докажите, что если $x > 0, y > 0, z > 0,$ то

$\frac{x^2}{x^2 + 2yz} + \frac{y^2}{y^2 + 2xz} + \frac{z^2}{z^2 + 2xy} \ge 1.$

Решение.

Для доказательства воспользуемся неравенством Коши-Буняковского в форме Энгеля (также известным как лемма Титу). Для любых действительных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ и положительных чисел $b_1, b_2, \dots, b_n$ справедливо неравенство:

$\frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} + \dots + \frac{a_n^2}{b_n} \ge \frac{(a_1 + a_2 + \dots + a_n)^2}{b_1 + b_2 + \dots + b_n}$

Обозначим левую часть доказываемого неравенства как $S$:

$S = \frac{x^2}{x^2 + 2yz} + \frac{y^2}{y^2 + 2xz} + \frac{z^2}{z^2 + 2xy}$

Применим лемму Титу, положив $a_1=x, a_2=y, a_3=z$ и $b_1 = x^2+2yz, b_2 = y^2+2xz, b_3 = z^2+2xy$. Поскольку по условию $x > 0, y > 0, z > 0$, все знаменатели $b_i$ также являются положительными числами.

$S \ge \frac{(x+y+z)^2}{(x^2 + 2yz) + (y^2 + 2xz) + (z^2 + 2xy)}$

Сгруппируем слагаемые в знаменателе правой части:

$S \ge \frac{(x+y+z)^2}{x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx}$

Заметим, что выражение в знаменателе является формулой полного квадрата суммы трех переменных:

$x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx = (x+y+z)^2$

Подставив это в наше неравенство, получаем:

$S \ge \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}$

$S \ge 1$

Таким образом, исходное неравенство $\frac{x^2}{x^2 + 2yz} + \frac{y^2}{y^2 + 2xz} + \frac{z^2}{z^2 + 2xy} \ge 1$ доказано.

Равенство в данном неравенстве достигается при $x=y=z$.

Ответ: Неравенство доказано.