Номер 4, страница 188 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Когда сделаны уроки. Упражнения - номер 4, страница 188.

Условие.

4. Для положительных чисел $x$, $y$ и $z$ докажите неравенство:

$\frac{x^3}{y} + \frac{y^3}{z} + \frac{z^3}{x} \ge x^2 + y^2 + z^2.$

Решение.

Для доказательства данного неравенства для положительных чисел $x, y, z$ можно использовать несколько методов. Один из самых наглядных — применение неравенства о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши).

Доказательство с использованием неравенства о средних (Коши)

Неравенство о средних для двух положительных чисел $a$ и $b$ утверждает, что их среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического:

$$ \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \quad \text{или} \quad a+b \ge 2\sqrt{ab} $$

Применим это неравенство к трём парам слагаемых. Идея состоит в том, чтобы для каждого члена в левой части исходного неравенства подобрать такой второй член, чтобы их произведение под корнем дало квадрат переменной из правой части.

1. Для первого слагаемого $\frac{x^3}{y}$ подберём слагаемое $xy$. Так как $x, y > 0$, то и $xy > 0$. Применяем неравенство Коши:$$ \frac{x^3}{y} + xy \ge 2\sqrt{\frac{x^3}{y} \cdot xy} = 2\sqrt{x^4} = 2x^2 $$

2. Аналогично для второго слагаемого $\frac{y^3}{z}$ и слагаемого $yz$:$$ \frac{y^3}{z} + yz \ge 2\sqrt{\frac{y^3}{z} \cdot yz} = 2\sqrt{y^4} = 2y^2 $$

3. И для третьего слагаемого $\frac{z^3}{x}$ и слагаемого $zx$:$$ \frac{z^3}{x} + zx \ge 2\sqrt{\frac{z^3}{x} \cdot zx} = 2\sqrt{z^4} = 2z^2 $$

Теперь сложим три полученных неравенства:$$ \left(\frac{x^3}{y} + xy\right) + \left(\frac{y^3}{z} + yz\right) + \left(\frac{z^3}{x} + zx\right) \ge 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 $$

Сгруппируем слагаемые в левой части:$$ \left(\frac{x^3}{y} + \frac{y^3}{z} + \frac{z^3}{x}\right) + (xy + yz + zx) \ge 2(x^2 + y^2 + z^2) $$

Отсюда выразим сумму, стоящую в левой части исходного неравенства:$$ \frac{x^3}{y} + \frac{y^3}{z} + \frac{z^3}{x} \ge 2(x^2 + y^2 + z^2) - (xy + yz + zx) $$

Для завершения доказательства нам нужно показать, что правая часть этого неравенства не меньше, чем $x^2 + y^2 + z^2$. То есть, докажем вспомогательное неравенство:$$ 2(x^2 + y^2 + z^2) - (xy + yz + zx) \ge x^2 + y^2 + z^2 $$

Вычтем $x^2 + y^2 + z^2$ из обеих частей:$$ x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \ge 0 $$

Это известное неравенство. Для его доказательства умножим обе части на 2:$$ 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx \ge 0 $$

Сгруппируем слагаемые для выделения полных квадратов разности:$$ (x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2) \ge 0 $$$$ (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 \ge 0 $$

Последнее неравенство очевидно верно, так как сумма квадратов действительных чисел всегда неотрицательна. Таким образом, вспомогательное неравенство доказано.

Мы получили следующую цепочку неравенств:$$ \frac{x^3}{y} + \frac{y^3}{z} + \frac{z^3}{x} \ge 2(x^2 + y^2 + z^2) - (xy + yz + zx) \ge x^2 + y^2 + z^2 $$Из этой цепочки напрямую следует доказываемое неравенство:$$ \frac{x^3}{y} + \frac{y^3}{z} + \frac{z^3}{x} \ge x^2 + y^2 + z^2 $$Равенство достигается тогда и только тогда, когда все использованные неравенства обращаются в равенства. Для неравенства Коши это означает $\frac{x^3}{y} = xy$, $\frac{y^3}{z} = yz$ и $\frac{z^3}{x} = zx$, что эквивалентно $x=y=z$ для положительных чисел. Для вспомогательного неравенства равенство $(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0$ также выполняется только при $x=y=z$. Следовательно, равенство в исходном неравенстве имеет место тогда и только тогда, когда $x=y=z$.

Ответ: Неравенство доказано.