Номер 7.33, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.33, страница 77.

Условие.

7.33. График квадратичной функции $f(x) = ax^2 + bx + c$, где $a + b + c > 0$, не имеет общих точек с осью абсцисс. Определите знак параметра $c$.

Решение.

Дана квадратичная функция $f(x) = ax^2 + bx + c$. Графиком этой функции является парабола.

По условию задачи, график функции не имеет общих точек с осью абсцисс. Это означает, что парабола целиком расположена либо строго выше оси $Ox$, либо строго ниже оси $Ox$. Следовательно, функция $f(x)$ сохраняет свой знак на всей области определения. То есть, либо $f(x) > 0$ для всех действительных $x$, либо $f(x) < 0$ для всех действительных $x$.

Рассмотрим второе условие, данное в задаче: $a + b + c > 0$. Вычислим значение функции $f(x)$ в точке $x = 1$:$f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c$. Таким образом, из условия $a + b + c > 0$ следует, что $f(1) > 0$.

Мы установили, что функция $f(x)$ является знакопостоянной. Поскольку в точке $x=1$ значение функции положительно, то она должна быть положительной для всех действительных значений $x$. Итак, $f(x) > 0$ для любого $x \in R$.

Теперь найдем знак параметра $c$. Значение параметра $c$ равно значению функции в точке $x = 0$:$f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c$. Так как $f(x) > 0$ для всех значений $x$, это утверждение справедливо и для $x = 0$. Следовательно, $f(0) > 0$, что означает $c > 0$.

Ответ: $c > 0$.