Номер 2.38, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.38, страница 30.

Условие.

2.38. Решите уравнение:

1) $x^2 + \sqrt{x} = \frac{12}{x} + 15;$

2) $\frac{17}{x^2 + 1} = \frac{\sqrt{x}}{2}.$

Решение.

1) $x^2 + \sqrt{x} = \frac{12}{x} + 15$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x \neq 0$.
Следовательно, ОДЗ: $x > 0$.

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения:
$f(x) = x^2 + \sqrt{x}$
$g(x) = \frac{12}{x} + 15$
Нам нужно решить уравнение $f(x) = g(x)$ на области определения $x > 0$.

Исследуем монотонность этих функций. Для этого найдем их производные.
Производная функции $f(x)$: $f'(x) = (x^2 + \sqrt{x})' = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
На ОДЗ ($x > 0$) оба слагаемых $2x$ и $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ положительны, значит, $f'(x) > 0$. Таким образом, функция $f(x)$ строго возрастает на интервале $(0, +\infty)$.

Производная функции $g(x)$: $g'(x) = (\frac{12}{x} + 15)' = -\frac{12}{x^2}$.
На ОДЗ ($x > 0$) $x^2 > 0$, поэтому $g'(x) < 0$. Таким образом, функция $g(x)$ строго убывает на интервале $(0, +\infty)$.

Строго возрастающая функция и строго убывающая функция могут иметь не более одной точки пересечения. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня.
Найдем этот корень методом подбора. Проверим целые значения $x$, являющиеся полными квадратами.
При $x = 4$:
Левая часть: $4^2 + \sqrt{4} = 16 + 2 = 18$.
Правая часть: $\frac{12}{4} + 15 = 3 + 15 = 18$.
Поскольку $18 = 18$, то $x=4$ является корнем уравнения.
Так как корень может быть только один, мы нашли единственное решение.

Ответ: $4$.

2) $\frac{17}{x^2 + 1} = \frac{\sqrt{x}}{2}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Знаменатель $x^2 + 1$ при любом действительном $x$ положителен ($x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2+1 \ge 1$), поэтому дополнительных ограничений не возникает.
ОДЗ: $x \ge 0$.

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$17 \cdot 2 = \sqrt{x}(x^2 + 1)$
$34 = \sqrt{x} \cdot x^2 + \sqrt{x}$

Для решения введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Поскольку $x \ge 0$, то $t \ge 0$. Тогда $x=t^2$.
Подставим новую переменную в уравнение:
$34 = t \cdot (t^2)^2 + t$
$34 = t \cdot t^4 + t$
$34 = t^5 + t$
$t^5 + t - 34 = 0$

Рассмотрим функцию $f(t) = t^5 + t - 34$. Найдем ее производную:
$f'(t) = 5t^4 + 1$.
Так как $t^4 \ge 0$ для любого $t$, то $5t^4 \ge 0$, и $f'(t) = 5t^4 + 1 \ge 1 > 0$.
Поскольку производная функции всегда положительна, функция $f(t)$ является строго возрастающей. Следовательно, уравнение $f(t) = 0$ может иметь не более одного действительного корня.
Найдем этот корень методом подбора, проверяя целые неотрицательные значения $t$.
При $t = 2$: $2^5 + 2 - 34 = 32 + 2 - 34 = 0$.
Равенство верное, значит $t = 2$ – единственный корень.

Выполним обратную замену:
$\sqrt{x} = t = 2$
Возведя обе части в квадрат, получаем:
$x = 4$.

Найденное значение $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \ge 0$).
Проверим решение, подставив $x=4$ в исходное уравнение:
Левая часть: $\frac{17}{4^2+1} = \frac{17}{16+1} = \frac{17}{17} = 1$.
Правая часть: $\frac{\sqrt{4}}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$1=1$. Равенство верное.

Ответ: $4$.