Номер 2.31, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.31, страница 30.

Условие.

2.31. При каких значениях параметра $a$ функция $y = x|x - a|$ является возрастающей?

Решение.

Для того чтобы функция $y = x|x - a|$ была возрастающей на всей числовой оси, необходимо и достаточно, чтобы для любых $x_1 < x_2$ выполнялось неравенство $y(x_1) \le y(x_2)$. Для дифференцируемой функции достаточным условием возрастания является неотрицательность ее производной: $y'(x) \ge 0$ на всей области определения (в точках, где производная существует).

Сначала представим функцию в кусочном виде, раскрыв модуль. Выражение $|x-a|$ равно $x-a$ при $x \ge a$ и $-(x-a)$ при $x < a$.

Таким образом, функцию можно записать как:

$y(x) = \begin{cases} x(x - a) = x^2 - ax, & \text{если } x \ge a \\ x(-(x - a)) = -x^2 + ax, & \text{если } x < a \end{cases}$

Эта функция непрерывна на всей числовой оси при любом значении параметра $a$, так как в точке "склейки" $x=a$ значение функции равно нулю с обеих сторон: $y(a) = a^2 - a \cdot a = 0$ и $\lim_{x \to a^-} (-x^2 + ax) = -a^2+a^2 = 0$.

Теперь найдем производную функции на интервалах, где она гладкая:

1. При $x > a$: $y'(x) = (x^2 - ax)' = 2x - a$.

2. При $x < a$: $y'(x) = (-x^2 + ax)' = -2x + a$.

Для возрастания функции $y(x)$ на $\mathbb{R}$ необходимо, чтобы ее производная была неотрицательна, то есть $y'(x) \ge 0$ для всех $x \ne a$. Это приводит к системе из двух условий:

$\begin{cases} 2x - a \ge 0 & \text{для всех } x > a \\ -2x + a \ge 0 & \text{для всех } x < a \end{cases}$

Рассмотрим первое условие: $2x - a \ge 0$ для всех $x > a$. Так как функция $g(x) = 2x - a$ является линейной и возрастающей, ее наименьшее значение (инфимум) на интервале $(a, \infty)$ достигается при $x$, стремящемся к $a$ справа. Этот инфимум равен $\lim_{x \to a^+} (2x - a) = 2a - a = a$. Чтобы неравенство выполнялось для всех $x$ из данного интервала, инфимум должен быть неотрицательным, то есть $a \ge 0$.

Рассмотрим второе условие: $-2x + a \ge 0$ для всех $x < a$. Функция $h(x) = -2x + a$ является линейной и убывающей. Ее наименьшее значение (инфимум) на интервале $(-\infty, a)$ достигается при $x$, стремящемся к $a$ слева. Этот инфимум равен $\lim_{x \to a^-} (-2x + a) = -2a + a = -a$. Чтобы неравенство выполнялось для всех $x$ из данного интервала, инфимум должен быть неотрицательным, то есть $-a \ge 0$, что эквивалентно $a \le 0$.

Таким образом, параметр $a$ должен одновременно удовлетворять двум условиям: $a \ge 0$ и $a \le 0$. Единственное число, которое удовлетворяет этой системе, это $a=0$.

Проверим найденное значение. При $a=0$ функция принимает вид $y=x|x|$. Если $x \ge 0$, то $y=x^2$, $y' = 2x \ge 0$. Если $x < 0$, то $y=-x^2$, $y'=-2x > 0$. Производная неотрицательна при всех $x$, следовательно, функция возрастает на всей числовой оси.

Ответ: $a=0$.