Номер 2.27, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.27, страница 30.

Условие.

2.27. Найдите $\max_M f(x)$ и $\min_M f(x)$, если:

1) $f(x) = -x^2 - 8x - 3$, $M = \mathbf{R}$;

2) $f(x) = \sqrt{2x - x^2}$, $M = D(f)$.

Решение.

1) $f(x) = -x^2 - 8x - 3, M = \mathbb{R}$

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -1 < 0$), следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Такая функция имеет максимальное значение в вершине параболы, но не имеет минимального значения, так как ее значения уходят в $-\infty$.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a = -1$ и $b = -8$.

$x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-8}{-2} = -4$.

Максимальное значение функции равно ординате вершины $y_0 = f(x_0)$.

$\max_{M} f(x) = f(-4) = -(-4)^2 - 8(-4) - 3 = -16 + 32 - 3 = 13$.

Так как ветви параболы уходят вниз на всей области определения $\mathbb{R}$, минимального значения у функции не существует.

Ответ: $\max_{M} f(x) = 13$; $\min_{M} f(x)$ не существует.

2) $f(x) = \sqrt{2x - x^2}, M = D(f)$

Сначала найдем область определения функции $D(f)$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$2x - x^2 \ge 0$

$x(2 - x) \ge 0$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем, что $x \in [0, 2]$.

Таким образом, множество $M = D(f) = [0, 2]$. Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке $[0, 2]$.

Функция $y = \sqrt{t}$ является возрастающей. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sqrt{2x - x^2}$ достигаются в тех же точках, что и наибольшее и наименьшее значения подкоренного выражения $g(x) = 2x - x^2$ на отрезке $[0, 2]$.

Найдем экстремумы функции $g(x) = -x^2 + 2x$ на отрезке $[0, 2]$. Это парабола с ветвями, направленными вниз. Ее максимум достигается в вершине с абсциссой:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.

Точка $x=1$ принадлежит отрезку $[0, 2]$. Значение функции в этой точке:

$g(1) = 2(1) - 1^2 = 1$.

Наименьшее значение квадратичной функции на отрезке достигается на одном из его концов. Проверим значения $g(x)$ на концах отрезка $[0, 2]$:

$g(0) = 2(0) - 0^2 = 0$

$g(2) = 2(2) - 2^2 = 4 - 4 = 0$

Итак, на отрезке $[0, 2]$ подкоренное выражение $g(x)$ принимает максимальное значение, равное 1 (при $x=1$), и минимальное значение, равное 0 (при $x=0$ и $x=2$).

Тогда для исходной функции $f(x)$:

$\max_{M} f(x) = \sqrt{\max g(x)} = \sqrt{1} = 1$.

$\min_{M} f(x) = \sqrt{\min g(x)} = \sqrt{0} = 0$.

Ответ: $\max_{M} f(x) = 1$; $\min_{M} f(x) = 0$.