Номер 2.30, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.30, страница 30.

Условие.

2.30. Функции $f$ и $g$ определены на множестве $\mathbf{R}$. Возрастающей или убывающей является функция $y = f(g(x))$, если:

1) $f$ — возрастающая, $g$ — убывающая;

2) $f$ — убывающая, $g$ — возрастающая?

Решение.

Для определения монотонности сложной функции $y = f(g(x))$ воспользуемся определением возрастающей и убывающей функции. Функция называется возрастающей, если для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Функция называется убывающей, если для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

1) $f$ — возрастающая, $g$ — убывающая;

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных числа из множества $\mathbb{R}$ такие, что $x_1 < x_2$.

Так как функция $g$ является убывающей, то из неравенства $x_1 < x_2$ следует, что $g(x_1) > g(x_2)$.

Обозначим $u_1 = g(x_1)$ и $u_2 = g(x_2)$. Тогда мы имеем $u_1 > u_2$.

Так как функция $f$ является возрастающей, то из неравенства $u_1 > u_2$ (или, что то же самое, $u_2 < u_1$) следует, что $f(u_1) > f(u_2)$.

Подставляя обратно значения $u_1$ и $u_2$, получаем $f(g(x_1)) > f(g(x_2))$.

Таким образом, для любых $x_1 < x_2$ выполняется $f(g(x_1)) > f(g(x_2))$. Согласно определению, функция $y = f(g(x))$ является убывающей.

Ответ: убывающей.

2) $f$ — убывающая, $g$ — возрастающая?

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных числа из множества $\mathbb{R}$ такие, что $x_1 < x_2$.

Так как функция $g$ является возрастающей, то из неравенства $x_1 < x_2$ следует, что $g(x_1) < g(x_2)$.

Обозначим $u_1 = g(x_1)$ и $u_2 = g(x_2)$. Тогда мы имеем $u_1 < u_2$.

Так как функция $f$ является убывающей, то из неравенства $u_1 < u_2$ следует, что $f(u_1) > f(u_2)$.

Подставляя обратно значения $u_1$ и $u_2$, получаем $f(g(x_1)) > f(g(x_2))$.

Таким образом, для любых $x_1 < x_2$ выполняется $f(g(x_1)) > f(g(x_2))$. Согласно определению, функция $y = f(g(x))$ является убывающей.

Ответ: убывающей.