Номер 2.24, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.24, страница 29.

Условие.

2.24. Докажите, что функция является убывающей:

1) $y = -x + \frac{1}{\sqrt{x}}$;

2) $y = \sqrt{2-x} + \sqrt{-x}$;

3) $y = -x\sqrt{-x}$;

4) $y = -x\sqrt{x}$.

Решение.

1) Чтобы доказать, что функция $y = -x + \frac{1}{\sqrt{x}}$ является убывающей, найдем ее производную и определим ее знак на области определения функции.
Область определения функции (ОДЗ) задается условием $x > 0$, так как подкоренное выражение должно быть строго положительным (находится в знаменателе). Таким образом, $D(y) = (0; +\infty)$.
Найдем производную функции $y(x)$, представив ее как $y = -x + x^{-1/2}$:
$y' = \left(-x + x^{-1/2}\right)' = -1 + \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-1/2 - 1} = -1 - \frac{1}{2}x^{-3/2} = -1 - \frac{1}{2\sqrt{x^3}}$.
Проанализируем знак производной на области определения. Для любого $x > 0$ справедливо, что $\sqrt{x^3} > 0$, а значит, и дробь $\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$ также положительна.
Таким образом, производная $y'$ представляет собой сумму двух отрицательных чисел: $y' = -1 - (\text{положительное число})$.
Следовательно, $y' < 0$ для всех $x$ из области определения.
Поскольку производная функции отрицательна на всей области ее определения, функция является строго убывающей.
Ответ: Функция является убывающей, так как ее производная $y' = -1 - \frac{1}{2\sqrt{x^3}}$ отрицательна на всей области определения $(0; +\infty)$.

2) Чтобы доказать, что функция $y = \sqrt{2-x} + \sqrt{-x}$ является убывающей, найдем ее производную и определим ее знак.
Сначала найдем область определения функции. Для этого необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательными:
$\begin{cases} 2-x \geq 0 \\ -x \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \leq 2 \\ x \leq 0 \end{cases} \implies x \leq 0$.
Область определения $D(y) = (-\infty; 0]$.
Теперь найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$y' = (\sqrt{2-x})' + (\sqrt{-x})' = \frac{1}{2\sqrt{2-x}} \cdot (2-x)' + \frac{1}{2\sqrt{-x}} \cdot (-x)' = \frac{1}{2\sqrt{2-x}} \cdot (-1) + \frac{1}{2\sqrt{-x}} \cdot (-1)$.
$y' = -\frac{1}{2\sqrt{2-x}} - \frac{1}{2\sqrt{-x}}$.
Производная определена на интервале $(-\infty; 0)$. На этом интервале $2-x > 0$ и $-x > 0$. Следовательно, $\sqrt{2-x} > 0$ и $\sqrt{-x} > 0$.
Это означает, что оба слагаемых в выражении для производной отрицательны: $-\frac{1}{2\sqrt{2-x}} < 0$ и $-\frac{1}{2\sqrt{-x}} < 0$.
Сумма двух отрицательных чисел также отрицательна, то есть $y' < 0$ на интервале $(-\infty; 0)$.
Так как функция непрерывна на всей области определения, включая точку $x=0$, и ее производная отрицательна на интервале $(-\infty; 0)$, то функция убывает на всей области определения $(-\infty; 0]$.
Ответ: Функция является убывающей, так как ее производная $y' = -\frac{1}{2\sqrt{2-x}} - \frac{1}{2\sqrt{-x}}$ отрицательна на интервале $(-\infty; 0)$, а функция непрерывна на $(-\infty; 0]$.

3) Чтобы доказать, что функция $y = -x\sqrt{-x}$ является убывающей, найдем ее производную.
Область определения функции: $-x \geq 0$, что означает $x \leq 0$. Итак, $D(y) = (-\infty; 0]$.
Для удобства дифференцирования преобразуем функцию. Учитывая, что $-x \ge 0$ на области определения, мы можем записать $-x = (\sqrt{-x})^2$.
$y = -x\sqrt{-x} = (\sqrt{-x})^2 \sqrt{-x} = (\sqrt{-x})^3 = (-x)^{3/2}$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции:
$y' = \left((-x)^{3/2}\right)' = \frac{3}{2}(-x)^{3/2 - 1} \cdot (-x)' = \frac{3}{2}(-x)^{1/2} \cdot (-1) = -\frac{3}{2}\sqrt{-x}$.
Проанализируем знак производной. На интервале $(-\infty; 0)$ выражение $-x$ строго положительно, поэтому $\sqrt{-x} > 0$.
Следовательно, $y' = -\frac{3}{2}\sqrt{-x} < 0$ для всех $x \in (-\infty; 0)$. В точке $x=0$ производная равна нулю.
Так как производная функции неположительна ($y' \leq 0$) на всей области определения и равна нулю лишь в одной точке, функция является убывающей.
Ответ: Функция является убывающей, так как ее производная $y' = -\frac{3}{2}\sqrt{-x}$ неположительна на всей области определения $(-\infty; 0]$.

4) Чтобы доказать, что функция $y = -x\sqrt{x}$ является убывающей, найдем ее производную.
Область определения функции: $x \geq 0$. Итак, $D(y) = [0; +\infty)$.
Представим функцию в виде степени для упрощения дифференцирования:
$y = -x \cdot x^{1/2} = -x^{1 + 1/2} = -x^{3/2}$.
Найдем производную:
$y' = (-x^{3/2})' = -\frac{3}{2}x^{3/2 - 1} = -\frac{3}{2}x^{1/2} = -\frac{3}{2}\sqrt{x}$.
Проанализируем знак производной на области определения. На интервале $(0; +\infty)$ имеем $\sqrt{x} > 0$.
Следовательно, $y' = -\frac{3}{2}\sqrt{x} < 0$ для всех $x > 0$. В точке $x=0$ производная равна нулю.
Так как производная функции неположительна ($y' \leq 0$) на всей области определения и равна нулю лишь в одной точке, функция является убывающей.
Ответ: Функция является убывающей, так как ее производная $y' = -\frac{3}{2}\sqrt{x}$ неположительна на всей области определения $[0; +\infty)$.