Номер 2.17, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.17, страница 29.

Условие.

2.17. Докажите, что функция:

1) $y = \frac{6}{3-x}$ возрастает на промежутке $(3; +\infty);

2) $y = x^2 - 4x + 3$ убывает на промежутке $(-\infty; 2].

Решение.

1) Докажите, что функция $y = \frac{6}{3-x}$ возрастает на промежутке $(3; +\infty)$

Чтобы доказать, что функция возрастает на заданном промежутке, воспользуемся определением. Функция $f(x)$ называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(3; +\infty)$ так, чтобы выполнялось условие $x_1 < x_2$. Это означает, что $3 < x_1 < x_2$.

Найдем соответствующие значения функции: $y_1 = f(x_1) = \frac{6}{3-x_1}$ и $y_2 = f(x_2) = \frac{6}{3-x_2}$.

Чтобы сравнить эти значения, рассмотрим их разность $y_2 - y_1$:

$y_2 - y_1 = \frac{6}{3-x_2} - \frac{6}{3-x_1} = 6 \left( \frac{1}{3-x_2} - \frac{1}{3-x_1} \right) = 6 \left( \frac{(3-x_1) - (3-x_2)}{(3-x_2)(3-x_1)} \right) = 6 \frac{3-x_1-3+x_2}{(3-x_2)(3-x_1)} = 6 \frac{x_2-x_1}{(3-x_2)(3-x_1)}$

Теперь оценим знак полученного выражения:

1. Числитель $x_2 - x_1$ положителен, так как по нашему предположению $x_1 < x_2$.
2. Рассмотрим знаменатель $(3-x_2)(3-x_1)$. Так как $x_1$ и $x_2$ принадлежат промежутку $(3; +\infty)$, то $x_1 > 3$ и $x_2 > 3$. Следовательно, оба множителя в знаменателе отрицательны: $3-x_1 < 0$ и $3-x_2 < 0$.
3. Произведение двух отрицательных чисел $(3-x_2)(3-x_1)$ является положительным числом.

Таким образом, вся дробь $\frac{x_2-x_1}{(3-x_2)(3-x_1)}$ положительна, так как является отношением положительного числа (числитель) к положительному числу (знаменатель). Значит, и вся разность $y_2 - y_1 = 6 \frac{x_2-x_1}{(3-x_2)(3-x_1)}$ также положительна.

Из того, что $y_2 - y_1 > 0$, следует, что $y_2 > y_1$, или $f(x_2) > f(x_1)$.

Мы показали, что для любых $x_1, x_2$ из промежутка $(3; +\infty)$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Это по определению означает, что функция $y = \frac{6}{3-x}$ возрастает на данном промежутке.

Ответ: Доказано.

2) Докажите, что функция $y = x^2 - 4x + 3$ убывает на промежутке $(-\infty; 2]$

Доказательство можно провести двумя способами.

Способ 1: Использование определения убывающей функции.

Функция $f(x)$ называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

Возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 2]$ так, чтобы $x_1 < x_2$. Это означает, что $x_1 < x_2 \le 2$.

Найдем соответствующие значения функции: $y_1 = f(x_1) = x_1^2 - 4x_1 + 3$ и $y_2 = f(x_2) = x_2^2 - 4x_2 + 3$.

Рассмотрим разность $y_2 - y_1$:

$y_2 - y_1 = (x_2^2 - 4x_2 + 3) - (x_1^2 - 4x_1 + 3) = x_2^2 - x_1^2 - 4x_2 + 4x_1 = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) - 4(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(x_1 + x_2 - 4)$

Оценим знак полученного выражения:

1. Первый множитель $x_2 - x_1$ положителен, так как по нашему предположению $x_1 < x_2$.
2. Второй множитель $x_1 + x_2 - 4$. Так как $x_1 < 2$ и $x_2 \le 2$, то, сложив эти неравенства, получим $x_1 + x_2 < 2 + 2 = 4$. Следовательно, $x_1 + x_2 - 4 < 0$, то есть второй множитель отрицателен.

Произведение положительного и отрицательного множителей является отрицательным числом, то есть $(x_2 - x_1)(x_1 + x_2 - 4) < 0$.

Таким образом, разность $y_2 - y_1 < 0$, откуда следует, что $y_2 < y_1$, или $f(x_2) < f(x_1)$.

Мы показали, что для любых $x_1, x_2$ из промежутка $(-\infty; 2]$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $f(x_1) > f(x_2)$, что доказывает убывание функции на данном промежутке.

Способ 2: Использование свойств квадратичной функции.

Функция $y = x^2 - 4x + 3$ является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координату $x$ вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке от $-\infty$ до абсциссы вершины и возрастает на промежутке от абсциссы вершины до $+\infty$. Следовательно, функция $y = x^2 - 4x + 3$ убывает на промежутке $(-\infty; 2]$.

Ответ: Доказано.