Номер 2.12, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.12, страница 29.

Условие.

2.12. Функция $y = f(x)$ является убывающей. Возрастающей или убывающей является функция (ответ обоснуйте):

1) $y = 3f(x)$;

2) $y = -f(x)$;

3) $y = f(x) + 5$?

Решение.

По определению, убывающая функция $y = f(x)$ удовлетворяет условию: для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Будем использовать это свойство для анализа каждой из предложенных функций.

1) y = 3f(x);

Пусть $g(x) = 3f(x)$. Возьмем произвольные $x_1$ и $x_2$, такие что $x_1 < x_2$. Поскольку $f(x)$ — убывающая функция, то $f(x_1) > f(x_2)$. Умножим обе части этого неравенства на положительное число 3. При умножении на положительное число знак неравенства сохраняется: $3f(x_1) > 3f(x_2)$. Это означает, что $g(x_1) > g(x_2)$. Таким образом, для $x_1 < x_2$ выполняется $g(x_1) > g(x_2)$, следовательно, функция $y = 3f(x)$ является убывающей.
Ответ: убывающей.

2) y = -f(x);

Пусть $h(x) = -f(x)$. Возьмем произвольные $x_1$ и $x_2$, такие что $x_1 < x_2$. Так как $f(x)$ — убывающая функция, то $f(x_1) > f(x_2)$. Умножим обе части этого неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $-f(x_1) < -f(x_2)$. Это означает, что $h(x_1) < h(x_2)$. Таким образом, для $x_1 < x_2$ выполняется $h(x_1) < h(x_2)$, следовательно, функция $y = -f(x)$ является возрастающей.
Ответ: возрастающей.

3) y = f(x) + 5;

Пусть $p(x) = f(x) + 5$. Возьмем произвольные $x_1$ и $x_2$, такие что $x_1 < x_2$. Поскольку $f(x)$ — убывающая функция, то $f(x_1) > f(x_2)$. Прибавим к обеим частям этого неравенства число 5. Прибавление константы не меняет знак неравенства: $f(x_1) + 5 > f(x_2) + 5$. Это означает, что $p(x_1) > p(x_2)$. Таким образом, для $x_1 < x_2$ выполняется $p(x_1) > p(x_2)$, следовательно, функция $y = f(x) + 5$ является убывающей.
Ответ: убывающей.