Номер 2.5, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.5, страница 28.

Условие.

2.5. Найдите промежутки возрастания функции $y = \{x\}$.

Решение.

2.5.

Функция $y = \{x\}$ представляет собой дробную часть числа $x$. По определению, дробная часть числа вычисляется как разность между самим числом и его целой частью: $\{x\} = x - [x]$, где $[x]$ — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$.

Для нахождения промежутков возрастания функции проанализируем её поведение на различных участках числовой оси. Рассмотрим произвольный промежуток вида $[n, n+1)$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Для любого $x$, принадлежащего промежутку $[n, n+1)$ (то есть $n \le x < n+1$), его целая часть $[x]$ постоянна и равна $n$. Таким образом, на этом промежутке функция $y = \{x\}$ может быть записана как $y = x - n$.

Функция $y = x - n$ является линейной. Для определения характера её монотонности можно найти её производную:

$y' = (x - n)' = 1$

Поскольку производная функции положительна ($y' = 1 > 0$) на всех интервалах $(n, n+1)$, функция является строго возрастающей на каждом из этих интервалов. Так как функция непрерывна справа в точках $x=n$ (поскольку $\lim_{x \to n^+} \{x\} = \{n\} = 0$), то можно утверждать, что функция возрастает на каждом промежутке вида $[n, n+1)$.

В целых точках $x=n$ функция имеет разрывы первого рода (скачки). Предел слева в точке $n$ равен $\lim_{x \to n^-} \{x\} = 1$, в то время как значение функции в самой точке $\{n\} = 0$. Эти точки разрыва являются границами, разделяющими промежутки возрастания.

Следовательно, промежутками возрастания функции являются все промежутки вида $[n, n+1)$, где $n$ — любое целое число.

Ответ: $[n, n+1)$, где $n \in \mathbb{Z}$.