Номер 2.2, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.2, страница 28.

Условие.

2.2. На рисунке 2.10 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве $\mathbf{R}$. Пользуясь графиком, найдите:

1) нули функции;

2) промежутки знакопостоянства функции;

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;

4) значение: $\max\limits_{[0;2]} f(x)$, $\min\limits_{[0;2]} f(x)$, $\max\limits_{\mathbf{R}} f(x)$, $\min\limits_{\mathbf{R}} f(x)$, $\max\limits_{[-1;0)} f(x)$, $\min\limits_{[-1;0)} f(x)$.

Рис. 2.10

Решение.

1) нули функции;
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($f(x) = 0$). Геометрически это точки пересечения графика функции с осью абсцисс (осью Ox).
На представленном графике видно, что кривая пересекает ось Ox в трех точках.
Координаты этих точек по оси x: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$, $x_3 = 2$.
Ответ: $x = -1, x = 1, x = 2$.

2) промежутки знакопостоянства функции;
Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция принимает значения одного знака (либо только положительные, либо только отрицательные).
- Функция положительна ($f(x) > 0$), когда её график расположен выше оси Ox. Из графика видно, что это происходит на интервалах от -1 до 1 и от 2 до плюс бесконечности.
- Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда её график расположен ниже оси Ox. Это происходит на интервалах от минус бесконечности до -1 и от 1 до 2.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-1; 1) \cup (2; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (1; 2)$.

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;
- Функция возрастает на тех промежутках, где при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается (график идет вверх слева направо).
- Функция убывает на тех промежутках, где при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается (график идет вниз слева направо).
Точками, разделяющими промежутки возрастания и убывания, являются точки экстремумов (локальных максимумов и минимумов). Из графика определяем, что локальный максимум достигается при $x=0$, а локальный минимум — при $x=1.5$.
Таким образом, функция возрастает до $x=0$ и после $x=1.5$. Функция убывает между $x=0$ и $x=1.5$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[1.5; +\infty)$; функция убывает на промежутке $[0; 1.5]$.

4) значение: $\max_{[0; 2]} f(x)$, $\min_{[0; 2]} f(x)$, $\max_{\mathbb{R}} f(x)$, $\min_{\mathbb{R}} f(x)$, $\max_{[-1; 0]} f(x)$, $\min_{[-1; 0]} f(x)$.
Для нахождения наибольших и наименьших значений на заданных промежутках, проанализируем поведение функции на этих промежутках.
- $\max_{[0; 2]} f(x)$: На отрезке $[0; 2]$ наивысшая точка графика — это локальный максимум при $x=0$. Масштаб сетки: 2 клетки = 1 единица. Точка максимума имеет координаты $(0; 0.5)$.
Ответ: $\max_{[0; 2]} f(x) = f(0) = 0.5$.
- $\min_{[0; 2]} f(x)$: На отрезке $[0; 2]$ самая низкая точка графика — это локальный минимум при $x=1.5$. Координаты этой точки $(1.5; -0.5)$.
Ответ: $\min_{[0; 2]} f(x) = f(1.5) = -0.5$.
- $\max_{\mathbb{R}} f(x)$: Поскольку при $x \to +\infty$ график функции уходит в $+\infty$, функция не ограничена сверху на всей области определения.
Ответ: наибольшего значения не существует.
- $\min_{\mathbb{R}} f(x)$: Поскольку при $x \to -\infty$ график функции уходит в $-\infty$, функция не ограничена снизу на всей области определения.
Ответ: наименьшего значения не существует.
- $\max_{[-1; 0]} f(x)$: На отрезке $[-1; 0]$ функция монотонно возрастает. Следовательно, наибольшее значение достигается в правом конце отрезка, то есть в точке $x=0$.
Ответ: $\max_{[-1; 0]} f(x) = f(0) = 0.5$.
- $\min_{[-1; 0]} f(x)$: На отрезке $[-1; 0]$ функция монотонно возрастает. Следовательно, наименьшее значение достигается в левом конце отрезка, то есть в точке $x=-1$. В этой точке $f(-1)=0$.
Ответ: $\min_{[-1; 0]} f(x) = f(-1) = 0$.