Номер 1.46, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.46, страница 15.

Условие.

1.46. Дана функция $f(x) = x^2 + 2x$. Решите уравнение $f((f(f(x)))) = 0$.

Решение.

Дана функция $f(x) = x^2 + 2x$. Необходимо решить уравнение $f(f(f(x))) = 0$.

Для решения этого уравнения будем использовать метод замены, двигаясь от внешней функции к внутренней.

Шаг 1: Решение уравнения $f(y) = 0$

Пусть $y = f(f(x))$. Тогда исходное уравнение принимает вид $f(y) = 0$.

Подставим выражение для $f(y)$:

$y^2 + 2y = 0$

$y(y+2) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y_1 = 0$ и $y_2 = -2$.

Шаг 2: Решение уравнений для $f(f(x))$

Теперь задача сводится к решению двух независимых уравнений, подставляя найденные значения $y$ обратно:

1) $f(f(x)) = 0$

2) $f(f(x)) = -2$

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

1) Решение уравнения $f(f(x)) = 0$

Сделаем еще одну замену: пусть $z = f(x)$. Уравнение примет вид $f(z) = 0$. Как мы уже выяснили в Шаге 1, его решениями являются $z=0$ и $z=-2$. Это, в свою очередь, приводит нас к двум уравнениям относительно $x$:

а) $f(x) = 0$. Подставляем выражение для $f(x)$:

$x^2 + 2x = 0$

$x(x+2)=0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

б) $f(x) = -2$. Подставляем выражение для $f(x)$:

$x^2 + 2x = -2$

$x^2 + 2x + 2 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

2) Решение уравнения $f(f(x)) = -2$

Пусть $w = f(x)$, тогда $f(w) = -2$. Это приводит к уравнению $w^2 + 2w + 2 = 0$, которое, как мы только что выяснили, не имеет действительных решений для $w$. Следовательно, и уравнение $f(f(x)) = -2$ не имеет действительных решений для $x$.

Можно прийти к тому же выводу, проанализировав область значений функции $f(x)$. Представим функцию, выделив полный квадрат: $f(x) = (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x+1)^2 - 1$. Минимальное значение этой функции равно $-1$ (в вершине параболы при $x=-1$). Таким образом, область значений функции $f(x)$ — это $[-1; +\infty)$. Уравнение $f(w) = -2$ не может иметь решений, так как $-2$ не входит в область значений функции $f$.

Заключение

Собрав все действительные корни, полученные на всех этапах решения, мы видим, что единственными решениями исходного уравнения являются $x=0$ и $x=-2$.

Ответ: $0, -2$.