Номер 2.1, страница 27 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.1, страница 27.

Условие.

2.1. На рисунке 2.9 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве $R$. Пользуясь графиком, найдите:

1) нули функции;

2) промежутки знакопостоянства функции;

Рис. 2.8

Рис. 2.9

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;

4) значение: $\min_{R} f(x)$, $\max_{R} f(x)$, $\min_{[-2; 1]} f(x)$, $\max_{[-2; 1]} f(x)$, $\max_{(-2; 0)} f(x)$, $\min_{(-2; 0)} f(x)$.

Решение.

1) нули функции

Нулями функции называются значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($f(x) = 0$). Геометрически это абсциссы точек пересечения графика с осью Ox. По графику видно, что функция пересекает ось абсцисс в точках $x = -2$, $x = 0$ и $x = 2$.

Ответ: -2; 0; 2.

2) промежутки знакопостоянства функции

Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция принимает значения одного знака (положительные или отрицательные).

• Функция положительна ($f(x) > 0$), когда её график находится выше оси Ox. Из графика следует, что это происходит при $x \in (-2; 0) \cup (2; +\infty)$.
• Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда её график находится ниже оси Ox. Из графика следует, что это происходит при $x \in (-\infty; -2) \cup (0; 2)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-2; 0) \cup (2; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (0; 2)$.

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции

Функция возрастает на тех промежутках, где с увеличением $x$ значения $y$ также увеличиваются (график идёт вверх). По графику видно, что это происходит на промежутках $(-\infty; -1.2]$ и $[1.2; +\infty)$. Точки $x \approx -1.2$ и $x \approx 1.2$ — это примерные абсциссы точек экстремумов (локального максимума и минимума соответственно).

Функция убывает на тех промежутках, где с увеличением $x$ значения $y$ уменьшаются (график идёт вниз). Это происходит на промежутке $[-1.2; 1.2]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1.2]$ и $[1.2; +\infty)$; функция убывает на промежутке $[-1.2; 1.2]$.

4) значение: $\min_{R} f(x)$, $\max_{R} f(x)$, $\min_{[-2; 1]} f(x)$, $\max_{[-2; 1]} f(x)$, $\max_{(-2; 0)} f(x)$, $\min_{(-2; 0)} f(x)$

$\min_{R} f(x)$ и $\max_{R} f(x)$: поскольку функция определена на множестве всех действительных чисел $R$ и, судя по графику, её значения уходят в $-\infty$ при $x \to -\infty$ и в $+\infty$ при $x \to +\infty$, функция не является ограниченной ни снизу, ни сверху. Следовательно, наименьшего и наибольшего значений на всей области определения не существует.

$\min_{[-2; 1]} f(x)$ и $\max_{[-2; 1]} f(x)$: чтобы найти наименьшее и наибольшее значение на отрезке, сравним значения функции на его концах и в точках экстремума, попадающих в этот отрезок.
Значения на концах: $f(-2) = 0$, $f(1) \approx -0.9$.
Внутри отрезка $[-2; 1]$ есть точка локального максимума $x \approx -1.2$, где $f(-1.2) \approx 1$.
Сравнивая значения $0$, $-0.9$ и $1$, получаем:
$\min_{[-2; 1]} f(x) = f(1) \approx -0.9$.
$\max_{[-2; 1]} f(x) = f(-1.2) \approx 1$.

$\max_{(-2; 0)} f(x)$ и $\min_{(-2; 0)} f(x)$: на открытом интервале $(-2; 0)$ функция имеет точку локального максимума $x \approx -1.2$, и это будет наибольшим значением на данном интервале: $\max_{(-2; 0)} f(x) = f(-1.2) \approx 1$.
На границах интервала $f(-2)=0$ и $f(0)=0$. Внутри интервала $(-2; 0)$ значения функции строго положительны. Они стремятся к 0 при $x \to -2^+$ и $x \to 0^-$, но не достигают его. Поэтому наименьшего значения на данном интервале не существует.

Ответ: $\min_{R} f(x)$ не существует; $\max_{R} f(x)$ не существует; $\min_{[-2; 1]} f(x) \approx -0.9$; $\max_{[-2; 1]} f(x) \approx 1$; $\max_{(-2; 0)} f(x) \approx 1$; $\min_{(-2; 0)} f(x)$ не существует.