Номер 1.48, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.48, страница 15.

Условие.

1.48. Дана функция $f(x) = x^2 - x + 1$. Решите уравнение $f(f(x)) = x$.

Решение.

Дана функция $f(x) = x^2 - x + 1$. Необходимо решить уравнение $f(f(x)) = x$.

Для начала, найдем выражение для $f(f(x))$. Для этого подставим $f(x)$ в качестве аргумента в саму функцию $f(x)$:

$f(f(x)) = f(x^2 - x + 1) = (x^2 - x + 1)^2 - (x^2 - x + 1) + 1$.

Теперь приравняем это выражение к $x$ согласно условию задачи:

$(x^2 - x + 1)^2 - (x^2 - x + 1) + 1 = x$.

Для упрощения уравнения перенесем некоторые слагаемые из левой части в правую:

$(x^2 - x + 1)^2 = x + (x^2 - x + 1) - 1$.

Упростим правую часть уравнения:

$(x^2 - x + 1)^2 = x + x^2 - x + 1 - 1$

$(x^2 - x + 1)^2 = x^2$.

Это уравнение вида $A^2 = B^2$, которое эквивалентно совокупности двух уравнений: $A = B$ и $A = -B$. В нашем случае это приводит к двум возможным вариантам:

1) $x^2 - x + 1 = x$

2) $x^2 - x + 1 = -x$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1:

$x^2 - x + 1 = x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Это выражение является полным квадратом разности:

$(x - 1)^2 = 0$

Отсюда получаем единственный корень $x = 1$.

Случай 2:

$x^2 - x + 1 = -x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 + 1 = 0$

$x^2 = -1$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, единственным действительным решением исходного уравнения является корень, полученный в первом случае.

Ответ: $x=1$.