Номер 1.49, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.49, страница 15.

Условие.

1.49. Решите уравнение $|2x - 1| = x + 2$.

Решение.

Для решения уравнения $|2x - 1| = x + 2$ необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения, стоящего под знаком модуля.

Прежде всего, заметим, что значение модуля всегда неотрицательно ($|a| \ge 0$). Это означает, что правая часть уравнения также должна быть неотрицательной:

$x + 2 \ge 0$

$x \ge -2$

Это условие является областью допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Все найденные корни должны удовлетворять этому условию.

Теперь рассмотрим два случая для раскрытия модуля.

1) Первый случай: подмодульное выражение неотрицательно.

Пусть $2x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge \frac{1}{2}$.

В этом случае модуль раскрывается со знаком "плюс": $|2x - 1| = 2x - 1$.

Исходное уравнение принимает вид:

$2x - 1 = x + 2$

Решаем полученное линейное уравнение:

$2x - x = 2 + 1$

$x = 3$

Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень $x=3$ условию $x \ge \frac{1}{2}$. Так как $3 \ge \frac{1}{2}$, условие выполнено. Корень также удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge -2$). Значит, $x=3$ является решением.

2) Второй случай: подмодульное выражение отрицательно.

Пусть $2x - 1 < 0$, то есть $x < \frac{1}{2}$.

В этом случае модуль раскрывается со знаком "минус": $|2x - 1| = -(2x - 1) = -2x + 1$.

Исходное уравнение принимает вид:

$-2x + 1 = x + 2$

Решаем полученное уравнение:

$1 - 2 = x + 2x$

$-1 = 3x$

$x = -\frac{1}{3}$

Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень $x = -\frac{1}{3}$ условию $x < \frac{1}{2}$. Так как $-\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$, условие выполнено. Корень также удовлетворяет ОДЗ ($-\frac{1}{3} \ge -2$). Значит, $x = -\frac{1}{3}$ также является решением.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, мы находим все корни уравнения.

Ответ: $-\frac{1}{3}; 3$.