Номер 1.47, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.47, страница 15.

Условие.

1.47. Дана функция $f(x) = x^2 + 10x + 20$. Решите уравнение $f(f(f(f(x))))=x$.

Решение.

Для решения данного уравнения сначала преобразуем вид функции $f(x)$, выделив полный квадрат:

$f(x) = x^2 + 10x + 20 = (x^2 + 10x + 25) - 5 = (x+5)^2 - 5$.

Этот вид функции удобен для нахождения ее итераций, то есть для последовательного применения функции к своему результату.

Найдем $f(f(x))$:

$f(f(x)) = (f(x)+5)^2 - 5 = \left(((x+5)^2 - 5) + 5\right)^2 - 5 = \left((x+5)^2\right)^2 - 5 = (x+5)^4 - 5$.

Теперь найдем третью итерацию, $f(f(f(x)))$:

$f(f(f(x))) = (f(f(x))+5)^2 - 5 = \left(((x+5)^4 - 5) + 5\right)^2 - 5 = \left((x+5)^4\right)^2 - 5 = (x+5)^8 - 5$.

Теперь исходное уравнение $f(f(f(x))) = x$ можно переписать в следующем виде:

$(x+5)^8 - 5 = x$

$(x+5)^8 = x+5$

Для решения этого уравнения введем замену переменной. Пусть $y = x+5$. Тогда уравнение принимает вид:

$y^8 = y$

Перенесем все члены в левую часть и разложим на множители:

$y^8 - y = 0$

$y(y^7 - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два, которые приводят к действительным решениям для $y$:

Первый случай: $y = 0$.

Второй случай: $y^7 - 1 = 0$, откуда $y^7 = 1$. Единственным действительным корнем этого уравнения является $y = 1$. Остальные шесть корней являются комплексными и не являются решениями в действительных числах.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$, соответствующие найденным значениям $y$.

При $y=0$: $x+5 = 0$, откуда $x = -5$.

При $y=1$: $x+5 = 1$, откуда $x = -4$.

Таким образом, мы нашли два действительных корня исходного уравнения.

Отметим, что найденные корни $x=-4$ и $x=-5$ также являются решениями более простого уравнения $f(x) = x$, которое определяет неподвижные точки функции $f(x)$. Если $f(x_0)=x_0$, то и $f(f(f(x_0))) = f(f(x_0)) = f(x_0) = x_0$. Наш анализ, основанный на преобразовании функции, показал, что других действительных решений у данного уравнения нет.

Ответ: $x = -5, x = -4$.