Номер 2.8, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.8, страница 28.

Условие.

2.8. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = x^2 - 2x + 1;$

2) $y = \frac{9}{3 - x};$

3) $y = \sqrt{x - 1};$

4) $y = |x + 1|;$

5) $y = \sqrt{x(x - 1)^2};$

6) $y = \{x\}.$

Решение.

1) $y=x^2-2x+1$

Чтобы найти промежутки знакопостоянства, сначала преобразуем функцию. Данное выражение является полным квадратом:

$y = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$

Область определения функции $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Найдем нули функции, то есть значения $x$, при которых $y=0$:

$(x-1)^2 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$

Выражение $(x-1)^2$ всегда неотрицательно, так как это квадрат действительного числа. Оно равно нулю только при $x=1$. При всех остальных значениях $x$, то есть при $x \ne 1$, значение функции будет строго положительным.

Таким образом:

• $y > 0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$
• $y < 0$ ни при каких значениях $x$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$; отрицательных значений функция не принимает.

2) $y = \frac{9}{3 - x}$

Это дробно-рациональная функция. Найдем ее область определения. Знаменатель не может быть равен нулю:

$3 - x \ne 0 \implies x \ne 3$.

Область определения $D(y) = (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.

Нулей у функции нет, так как числитель $9 \ne 0$.

Знак функции зависит от знака знаменателя $3-x$, так как числитель $9$ всегда положителен.

• Функция положительна ($y > 0$), когда знаменатель положителен: $3 - x > 0 \implies x < 3$.
• Функция отрицательна ($y < 0$), когда знаменатель отрицателен: $3 - x < 0 \implies x > 3$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty, 3)$; $y < 0$ при $x \in (3, +\infty)$.

3) $y = \sqrt{x - 1}$

Это иррациональная функция. Найдем ее область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

Область определения $D(y) = [1, +\infty)$.

Найдем нули функции: $y=0$ при $\sqrt{x-1} = 0$, что эквивалентно $x-1 = 0$, то есть $x=1$.

По определению, арифметический квадратный корень всегда неотрицателен. Значение функции равно нулю при $x=1$. Для всех остальных значений $x$ из области определения ($x > 1$) значение функции будет строго положительным.

Таким образом:

• $y > 0$ при $x > 1$, то есть на промежутке $(1, +\infty)$.
• $y < 0$ ни при каких значениях $x$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (1, +\infty)$; отрицательных значений функция не принимает.

4) $y = |x + 1|$

Это функция модуля. Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Найдем нули функции: $y=0$ при $|x+1| = 0$, что эквивалентно $x+1=0$, то есть $x=-1$.

По определению, модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной. Значение функции равно нулю при $x=-1$. При всех остальных значениях $x \ne -1$ значение функции будет строго положительным.

Таким образом:

• $y > 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$.
• $y < 0$ ни при каких значениях $x$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$; отрицательных значений функция не принимает.

5) $y = \sqrt{x(x - 1)^2}$

Это иррациональная функция. Найдем область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x(x - 1)^2 \ge 0$.

Множитель $(x-1)^2$ всегда неотрицателен. Следовательно, знак всего выражения определяется знаком множителя $x$. Таким образом, неравенство выполняется при $x \ge 0$.

Область определения $D(y) = [0, +\infty)$.

Найдем нули функции: $y=0$ при $\sqrt{x(x - 1)^2} = 0 \implies x(x - 1)^2 = 0$. Это уравнение имеет корни $x=0$ и $x=1$.

Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен. Функция равна нулю в точках $x=0$ и $x=1$. В остальных точках области определения ($x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$) функция строго положительна.

Таким образом:

• $y > 0$ при $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.
• $y < 0$ ни при каких значениях $x$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$; отрицательных значений функция не принимает.

6) $y = \{x\}$

Это функция "дробная часть числа", которая определяется как $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$, где $\lfloor x \rfloor$ - целая часть числа (наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

По определению, дробная часть числа удовлетворяет неравенству $0 \le \{x\} < 1$.

Найдем нули функции: $y=0$ при $\{x\}=0$. Это происходит тогда и только тогда, когда $x$ является целым числом ($x \in \mathbb{Z}$).

Определим знак функции:

• $y > 0$, если $x$ не является целым числом. Это можно записать как $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$ или в виде объединения интервалов $\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} (k, k+1)$.
• $y < 0$ ни при каких значениях $x$, так как $\{x\} \ge 0$.

Ответ: $y > 0$ для всех $x$, не являющихся целыми числами ($x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$); отрицательных значений функция не принимает.