Номер 2.11, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.11, страница 28.

Условие.

2.11. Докажите, что функция является возрастающей:

1) $y = \sqrt{x - 3} + 2;$

2) $y = \sqrt{3x - 1} - 1.$

Решение.

Чтобы доказать, что функция является возрастающей, нужно показать, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $y(x_2) > y(x_1)$.

1) $y = \sqrt{x-3}+2$

1. Найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x-3 \ge 0$

$x \ge 3$

Область определения $D(y) = [3, +\infty)$.

2. Возьмем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из области определения, такие что $x_2 > x_1$. Это означает, что $3 \le x_1 < x_2$.

3. Сравним значения функции в этих точках: $y(x_1) = \sqrt{x_1-3}+2$ и $y(x_2) = \sqrt{x_2-3}+2$.

4. Из неравенства $x_2 > x_1$ следует, что $x_2 - 3 > x_1 - 3$.

5. Так как функция $g(t) = \sqrt{t}$ является возрастающей для $t \ge 0$, и оба выражения $x_2 - 3$ и $x_1 - 3$ неотрицательны, то из $x_2 - 3 > x_1 - 3$ следует $\sqrt{x_2 - 3} > \sqrt{x_1 - 3}$.

6. Прибавим к обеим частям последнего неравенства 2:

$\sqrt{x_2 - 3} + 2 > \sqrt{x_1 - 3} + 2$

7. Это означает, что $y(x_2) > y(x_1)$.

Поскольку для любого $x_2 > x_1$ из области определения функции выполняется $y(x_2) > y(x_1)$, данная функция является возрастающей.

Ответ: доказано, что функция является возрастающей.

2) $y=\sqrt{3x-1}-1$

1. Найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$3x-1 \ge 0$

$3x \ge 1$

$x \ge \frac{1}{3}$

Область определения $D(y) = [\frac{1}{3}, +\infty)$.

2. Возьмем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из области определения, такие что $x_2 > x_1$. Это означает, что $\frac{1}{3} \le x_1 < x_2$.

3. Сравним значения функции в этих точках: $y(x_1) = \sqrt{3x_1-1}-1$ и $y(x_2) = \sqrt{3x_2-1}-1$.

4. Из неравенства $x_2 > x_1$ следует, что $3x_2 > 3x_1$, а также $3x_2 - 1 > 3x_1 - 1$.

5. Так как функция $g(t) = \sqrt{t}$ является возрастающей для $t \ge 0$, и оба выражения $3x_2 - 1$ и $3x_1 - 1$ неотрицательны, то из $3x_2 - 1 > 3x_1 - 1$ следует $\sqrt{3x_2 - 1} > \sqrt{3x_1 - 1}$.

6. Вычтем из обеих частей последнего неравенства 1:

$\sqrt{3x_2 - 1} - 1 > \sqrt{3x_1 - 1} - 1$

7. Это означает, что $y(x_2) > y(x_1)$.

Поскольку для любого $x_2 > x_1$ из области определения функции выполняется $y(x_2) > y(x_1)$, данная функция является возрастающей.

Ответ: доказано, что функция является возрастающей.