Номер 2.15, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.15, страница 29.

Условие.

2.15. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = x^2 + 1$.

Решение.

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции $y = x^2 + 1$, необходимо исследовать знак её производной.

1. Находим производную функции:
$y' = (x^2 + 1)' = 2x$.

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:
$2x = 0$
$x = 0$.

3. Критическая точка $x=0$ делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих интервалов.

Промежуток убывания
Функция убывает, когда её производная отрицательна ($y' < 0$).
$2x < 0$
$x < 0$
Так как функция непрерывна в точке $x=0$, эту точку включают в промежуток убывания.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.

Промежуток возрастания
Функция возрастает, когда её производная положительна ($y' > 0$).
$2x > 0$
$x > 0$
Так как функция непрерывна в точке $x=0$, эту точку включают в промежуток возрастания.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.