Номер 2.9, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.9, страница 28.

Условие.

2.9. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = x^2 + 4x + 4$;

2) $y = \sqrt{x + 2}$;

3) $y = |x| - 1$;

4) $y = |x^2 - 4|$;

5) $y = \sqrt{(x - 1)(x - 3)^2}$;

6) $y = \lfloor x \rfloor$.

Решение.

1)

Дана функция $y = x^2 + 4x + 4$. Это квадратичная функция, её область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Для нахождения промежутков знакопостоянства найдем нули функции, решив уравнение $y=0$:

$x^2 + 4x + 4 = 0$

Выражение в левой части является полным квадратом:

$(x+2)^2 = 0$

Корень уравнения: $x = -2$.

Так как выражение $(x+2)^2$ является квадратом действительного числа, оно всегда неотрицательно, то есть $y \ge 0$ для всех $x$. Функция равна нулю только в точке $x = -2$. Во всех остальных точках ($x \ne -2$) она строго положительна.

Следовательно, $y > 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Промежутков, где $y < 0$, не существует.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$; $y < 0$ — нет решений.

2)

Дана функция $y = \sqrt{x+2}$.

Найдем область определения функции. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

Таким образом, область определения $D(y) = [-2; +\infty)$.

По определению арифметического квадратного корня, его значение всегда неотрицательно, то есть $y = \sqrt{x+2} \ge 0$ для всех $x$ из области определения.

Найдем нули функции, решив уравнение $y=0$:

$\sqrt{x+2} = 0 \implies x+2 = 0 \implies x = -2$.

Функция равна нулю при $x = -2$. Для всех остальных значений $x$ из области определения, то есть при $x > -2$, функция будет строго положительной.

Следовательно, $y > 0$ при $x \in (-2; +\infty)$.

Промежутков, где $y < 0$, не существует.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-2; +\infty)$; $y < 0$ — нет решений.

3)

Дана функция $y = |x| - 1$. Область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $y = 0$:

$|x| - 1 = 0 \implies |x| = 1$.

Отсюда $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

Нули функции разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак функции на каждом из них методом пробной точки.

• На интервале $(-\infty; -1)$ возьмем точку $x=-2$: $y(-2) = |-2| - 1 = 2 - 1 = 1 > 0$.
• На интервале $(-1; 1)$ возьмем точку $x=0$: $y(0) = |0| - 1 = 0 - 1 = -1 < 0$.
• На интервале $(1; +\infty)$ возьмем точку $x=2$: $y(2) = |2| - 1 = 2 - 1 = 1 > 0$.

Таким образом, функция положительна на объединении двух интервалов и отрицательна на одном интервале.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-1; 1)$.

4)

Дана функция $y = |x^2 - 4|$. Область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

По определению модуля, значение функции всегда неотрицательно, то есть $y \ge 0$ для всех $x$.

Найдем нули функции, решив уравнение $y=0$:

$|x^2 - 4| = 0 \implies x^2 - 4 = 0 \implies (x-2)(x+2)=0$.

Нули функции: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

Функция равна нулю в точках $x=-2$ и $x=2$. Во всех остальных точках она строго положительна.

Следовательно, $y > 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

Промежутков, где $y < 0$, не существует.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$; $y < 0$ — нет решений.

5)

Дана функция $y = \sqrt{(x-1)(x-3)^2}$.

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$(x-1)(x-3)^2 \ge 0$.

Множитель $(x-3)^2$ всегда неотрицателен (то есть $\ge 0$). Поэтому знак всего произведения зависит от знака множителя $(x-1)$. Неравенство выполняется, если $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.

Область определения функции $D(y) = [1; +\infty)$.

По определению арифметического квадратного корня, $y \ge 0$ для всех $x$ из области определения.

Найдем нули функции, решив уравнение $y=0$:

$\sqrt{(x-1)(x-3)^2} = 0 \implies (x-1)(x-3)^2 = 0$.

Нули функции: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Оба корня принадлежат области определения.

Функция равна нулю в точках $x=1$ и $x=3$. Во всех остальных точках из области определения она строго положительна.

Следовательно, $y > 0$ при $x \in (1; 3) \cup (3; +\infty)$.

Промежутков, где $y < 0$, не существует.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (1; 3) \cup (3; +\infty)$; $y < 0$ — нет решений.

6)

Дана функция $y = [x]$ (целая часть числа $x$). Эта функция сопоставляет каждому действительному числу $x$ наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

1. Найдем, при каких $x$ выполняется $y > 0$.

$[x] > 0$. Так как $[x]$ по определению является целым числом, это неравенство эквивалентно $[x] \ge 1$. По определению целой части, это выполняется, если $x \ge 1$.

2. Найдем, при каких $x$ выполняется $y < 0$.

$[x] < 0$. Так как $[x]$ — целое число, это неравенство эквивалентно $[x] \le -1$. По определению целой части, это выполняется, если $x < 0$.

3. Заметим, что $y=0$ при $[x]=0$, что соответствует $x \in [0; 1)$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in [1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.