Номер 2.10, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.10, страница 28.

Условие.

2.10. Докажите, что функция является возрастающей:

1) $y = \sqrt{x-1}$;

2) $y = \sqrt{2x+1}$.

Решение.

Для доказательства того, что функция является возрастающей, необходимо показать, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

1) $y = \sqrt{x - 1}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$ $x \ge 1$ Область определения функции $D(y) = [1; +\infty)$.

Возьмем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из области определения, такие что $x_2 > x_1$. Так как $x_1$ и $x_2$ принадлежат области определения, то $x_1 \ge 1$ и $x_2 > 1$.

Рассмотрим неравенство $x_2 > x_1$. Вычтем 1 из обеих частей неравенства: $x_2 - 1 > x_1 - 1$.

Поскольку $x_1 \ge 1$, то $x_1 - 1 \ge 0$. Следовательно, обе части полученного неравенства неотрицательны. Функция $g(t) = \sqrt{t}$ является возрастающей при $t \ge 0$. Это значит, что если $a > b \ge 0$, то $\sqrt{a} > \sqrt{b}$.

Применим это свойство к нашему неравенству: $\sqrt{x_2 - 1} > \sqrt{x_1 - 1}$.

Таким образом, мы получили, что $y(x_2) > y(x_1)$. Так как для любых $x_2 > x_1$ из области определения выполняется $y(x_2) > y(x_1)$, функция $y = \sqrt{x - 1}$ является возрастающей.

Ответ: Функция $y = \sqrt{x - 1}$ является возрастающей на своей области определения $[1; +\infty)$, что и требовалось доказать.

2) $y = \sqrt{2x + 1}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2x + 1 \ge 0$ $2x \ge -1$ $x \ge -1/2$ Область определения функции $D(y) = [-1/2; +\infty)$.

Возьмем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из области определения, такие что $x_2 > x_1$. Следовательно, $x_1 \ge -1/2$ и $x_2 > -1/2$.

Рассмотрим неравенство $x_2 > x_1$. Умножим обе части на 2 (положительное число), знак неравенства не изменится: $2x_2 > 2x_1$.

Прибавим 1 к обеим частям неравенства: $2x_2 + 1 > 2x_1 + 1$.

Поскольку $x_1 \ge -1/2$, то $2x_1 \ge -1$, и $2x_1 + 1 \ge 0$. Это означает, что обе части полученного неравенства неотрицательны.

Так как функция $g(t) = \sqrt{t}$ является возрастающей для $t \ge 0$, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства, сохранив его знак: $\sqrt{2x_2 + 1} > \sqrt{2x_1 + 1}$.

Таким образом, мы получили, что $y(x_2) > y(x_1)$. Так как для любых $x_2 > x_1$ из области определения выполняется $y(x_2) > y(x_1)$, функция $y = \sqrt{2x + 1}$ является возрастающей.

Ответ: Функция $y = \sqrt{2x + 1}$ является возрастающей на своей области определения $[-1/2; +\infty)$, что и требовалось доказать.