Номер 2.16, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.16, страница 29.

Условие.

2.16. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = -x^2 - 4$.

Решение.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y = -x^2 - 4$ используется производная. Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная положительна ($y' > 0$), и убывает на тех, где ее производная отрицательна ($y' < 0$).

1. Находим производную функции.

Область определения функции — все действительные числа ($D(y) = (-\infty; +\infty)$).
Находим производную функции $y = -x^2 - 4$:

$y' = (-x^2 - 4)' = -2x$

2. Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки (точки возможного экстремума):

$y' = 0$

$-2x = 0$

$x = 0$

3. Определяем знаки производной на интервалах.

Критическая точка $x = 0$ делит числовую ось на два интервала: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.

• Для интервала $(-\infty, 0)$ выберем пробную точку, например, $x = -1$.
  $y'(-1) = -2(-1) = 2$.
  Так как $y' > 0$, функция на этом интервале возрастает.
• Для интервала $(0, +\infty)$ выберем пробную точку, например, $x = 1$.
  $y'(1) = -2(1) = -2$.
  Так как $y' < 0$, функция на этом интервале убывает.

4. Записываем ответ.

Поскольку функция $y = -x^2 - 4$ непрерывна на всей числовой оси, точку $x=0$ можно включить в оба промежутка монотонности.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

Дополнительное пояснение: Графиком функции $y = -x^2 - 4$ является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен). Вершина этой параболы находится в точке с абсциссой $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2(-1)} = 0$. Следовательно, до вершины (при $x \le 0$) функция возрастает, а после вершины (при $x \ge 0$) — убывает, что полностью совпадает с результатом, полученным через производную.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.