Номер 2.19, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.19, страница 29.

Условие.

2.19. Докажите, что функция $y = \frac{k}{x}$ убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$ при $k > 0$ и возрастает на каждом из этих промежутков при $k < 0$.

Решение.

Для доказательства утверждения рассмотрим два случая в зависимости от знака коэффициента $k$.

Доказательство того, что функция $y = \frac{k}{x}$ убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$ при $k > 0$

Воспользуемся определением убывающей функции. Функция $y(x)$ называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$.

Рассмотрим разность значений функции в точках $x_1$ и $x_2$:
$y(x_1) - y(x_2) = \frac{k}{x_1} - \frac{k}{x_2} = k\left(\frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2}\right) = k\frac{x_2 - x_1}{x_1x_2}$.

Теперь проанализируем знак этого выражения для каждого из указанных промежутков при условии $k > 0$.

1. Промежуток $(0; +\infty)$.
Пусть $x_1, x_2$ — произвольные числа из этого промежутка, такие что $0 < x_1 < x_2$.
В этом случае:
- $k > 0$ (по условию);
- $x_2 - x_1 > 0$ (так как $x_1 < x_2$);
- $x_1x_2 > 0$ (так как оба числа положительны).
Все множители в выражении $k\frac{x_2 - x_1}{x_1x_2}$ положительны, следовательно, их произведение также положительно:
$y(x_1) - y(x_2) > 0$, что равносильно $y(x_1) > y(x_2)$.
Таким образом, функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$.

2. Промежуток $(-\infty; 0)$.
Пусть $x_1, x_2$ — произвольные числа из этого промежутка, такие что $x_1 < x_2 < 0$.
В этом случае:
- $k > 0$ (по условию);
- $x_2 - x_1 > 0$ (так как $x_1 < x_2$);
- $x_1x_2 > 0$ (произведение двух отрицательных чисел положительно).
Снова все множители положительны, и разность $y(x_1) - y(x_2) > 0$, откуда $y(x_1) > y(x_2)$.
Таким образом, функция убывает и на промежутке $(-\infty; 0)$.

Ответ: Доказано, что при $k > 0$ функция $y = \frac{k}{x}$ убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Доказательство того, что функция $y = \frac{k}{x}$ возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$ при $k < 0$

Воспользуемся определением возрастающей функции. Функция $y(x)$ называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) < y(x_2)$.

Рассмотрим ту же самую разность $y(x_1) - y(x_2) = k\frac{x_2 - x_1}{x_1x_2}$ при условии $k < 0$.

1. Промежуток $(0; +\infty)$.
Пусть $0 < x_1 < x_2$.
В этом случае:
- $k < 0$ (по условию);
- $x_2 - x_1 > 0$;
- $x_1x_2 > 0$.
В произведении $k\frac{x_2 - x_1}{x_1x_2}$ один множитель ($k$) отрицателен, а остальные положительны. Следовательно, произведение отрицательно:
$y(x_1) - y(x_2) < 0$, что равносильно $y(x_1) < y(x_2)$.
Таким образом, функция возрастает на промежутке $(0; +\infty)$.

2. Промежуток $(-\infty; 0)$.
Пусть $x_1 < x_2 < 0$.
В этом случае:
- $k < 0$ (по условию);
- $x_2 - x_1 > 0$;
- $x_1x_2 > 0$.
Аналогично предыдущему пункту, произведение $k\frac{x_2 - x_1}{x_1x_2}$ отрицательно:
$y(x_1) - y(x_2) < 0$, откуда $y(x_1) < y(x_2)$.
Таким образом, функция возрастает и на промежутке $(-\infty; 0)$.

Ответ: Доказано, что при $k < 0$ функция $y = \frac{k}{x}$ возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.