Номер 2.22, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.22, страница 29.

Условие.

2.22. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = |x - a|$.

Решение.

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции $y = |x - a|$, необходимо раскрыть модуль. По определению модуля, функция может быть представлена в виде кусочно-линейной функции:

$y(x) = |x - a| = \begin{cases} x - a, & \text{если } x - a \ge 0 \implies x \ge a \\ -(x - a), & \text{если } x - a < 0 \implies x < a \end{cases}$

Теперь проанализируем поведение функции на каждом из двух промежутков.

1. На промежутке $(-\infty, a)$ функция имеет вид $y = -x + a$. Это линейная функция, её угловой коэффициент (тангенс угла наклона) равен $-1$. Так как угловой коэффициент отрицателен, функция на этом промежутке убывает.

2. На промежутке $(a, +\infty)$ функция имеет вид $y = x - a$. Это линейная функция, её угловой коэффициент равен $1$. Так как угловой коэффициент положителен, функция на этом промежутке возрастает.

В точке $x=a$ функция непрерывна ($y(a) = |a-a| = 0$). В этой точке убывание сменяется возрастанием, поэтому $x=a$ является точкой минимума. Принято включать точки непрерывности в концы промежутков монотонности.

Таким образом, функция убывает при $x \le a$ и возрастает при $x \ge a$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, a]$ и возрастает на промежутке $[a, +\infty)$.