Номер 2.25, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.25, страница 29.

Условие.

2.25. Функция $y = f(x)$ является возрастающей. Верно ли утверждение, что возрастающей является функция:

1) $y = (f(x))^2$;

2) $y = (f(x))^3$?

Решение.

По определению, возрастающая функция $y=f(x)$ — это функция, у которой для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из области определения, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

1) $y = (f(x))^2$

Рассмотрим функцию $g(x) = (f(x))^2$. Чтобы проверить, является ли она возрастающей, нужно выяснить, выполняется ли условие $g(x_1) < g(x_2)$ для любых $x_1 < x_2$. Это равносильно проверке неравенства $(f(x_1))^2 < (f(x_2))^2$.

Пусть $a = f(x_1)$ и $b = f(x_2)$. Из условия, что $f(x)$ возрастающая, следует, что $a < b$. Нам нужно проверить, всегда ли из $a < b$ следует $a^2 < b^2$.

Это утверждение не всегда верно. Поведение функции $y=t^2$ зависит от знака $t$. Она убывает при $t < 0$ и возрастает при $t > 0$. Если значения функции $f(x)$ могут быть отрицательными, то $g(x)=(f(x))^2$ может не быть возрастающей.

Приведем контрпример. Пусть $f(x) = x$. Эта функция является возрастающей на всей числовой прямой. Тогда $y = (f(x))^2 = x^2$.

Рассмотрим две точки: $x_1 = -2$ и $x_2 = -1$. Очевидно, что $x_1 < x_2$.

Для функции $f(x)=x$ имеем: $f(x_1) = -2$ и $f(x_2) = -1$. Так как $f(x_1) < f(x_2)$, функция $f(x)$ возрастает на этом участке.

Теперь рассмотрим значения функции $y = x^2$ в этих точках:

$y(x_1) = (-2)^2 = 4$

$y(x_2) = (-1)^2 = 1$

Получается, что для $x_1 < x_2$ выполняется $y(x_1) > y(x_2)$. Это противоречит определению возрастающей функции. Следовательно, утверждение, что функция $y=(f(x))^2$ всегда является возрастающей, неверно.

Ответ: нет, неверно.

2) $y = (f(x))^3$

Рассмотрим функцию $h(x) = (f(x))^3$. Проверим, выполняется ли для нее условие возрастания: для любых $x_1 < x_2$ должно выполняться $h(x_1) < h(x_2)$, то есть $(f(x_1))^3 < (f(x_2))^3$.

Пусть $a = f(x_1)$ и $b = f(x_2)$. Так как $f(x)$ — возрастающая функция и $x_1 < x_2$, то $a < b$. Нам нужно проверить, всегда ли из $a < b$ следует $a^3 < b^3$.

Функция $p(t) = t^3$ является строго возрастающей на всей числовой прямой. Это означает, что для любых двух чисел $a$ и $b$, если $a < b$, то и $a^3 < b^3$.

Поскольку $f(x_1) < f(x_2)$, то, возведя обе части неравенства в третью (нечетную) степень, получим $(f(x_1))^3 < (f(x_2))^3$.

Таким образом, для любых $x_1 < x_2$ выполняется $h(x_1) < h(x_2)$, что полностью соответствует определению возрастающей функции.

Можно также сказать, что функция $y=(f(x))^3$ является композицией двух возрастающих функций: $f(x)$ и $p(t)=t^3$. Композиция двух возрастающих функций всегда является возрастающей функцией.

Ответ: да, верно.