Номер 2.32, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.32, страница 30.

Условие.

2.32. При каких значениях параметра $a$ функция $y = (x - 1)(x - a)^2$ является возрастающей?

Решение.

Для того чтобы функция была возрастающей на всей числовой прямой, её производная должна быть неотрицательной для всех действительных значений $x$, то есть $y'(x) \ge 0$.

Найдём производную функции $y = (x - 1)(x - a)^2$. Воспользуемся правилом производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = ((x-1)(x-a)^2)' = (x-1)'(x-a)^2 + (x-1)((x-a)^2)'$

$y' = 1 \cdot (x-a)^2 + (x-1) \cdot 2(x-a) \cdot (x-a)'$

$y' = (x-a)^2 + 2(x-1)(x-a)$

Вынесем общий множитель $(x-a)$ за скобки:

$y' = (x-a)((x-a) + 2(x-1)) = (x-a)(x-a+2x-2) = (x-a)(3x - a - 2)$

Условие возрастания функции: $y' \ge 0$, то есть $(x-a)(3x - a - 2) \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Раскроем скобки в выражении для производной, чтобы получить квадратный трёхчлен относительно $x$:

$y' = 3x^2 - ax - 2x - 3ax + a^2 + 2a = 3x^2 - (4a + 2)x + (a^2 + 2a)$

График производной $y'(x)$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $3 > 0$. Чтобы эта парабола была всегда неотрицательной (располагалась не ниже оси абсцисс), её дискриминант $D$ должен быть меньше или равен нулю ($D \le 0$).

Найдём дискриминант квадратного трёхчлена $3x^2 - (4a + 2)x + (a^2 + 2a)$:

$D = (-(4a + 2))^2 - 4 \cdot 3 \cdot (a^2 + 2a) = (4a + 2)^2 - 12(a^2 + 2a)$

$D = 16a^2 + 16a + 4 - 12a^2 - 24a = 4a^2 - 8a + 4$

Теперь решим неравенство $D \le 0$ относительно параметра $a$:

$4a^2 - 8a + 4 \le 0$

Разделим обе части на 4:

$a^2 - 2a + 1 \le 0$

Свернём левую часть по формуле квадрата разности:

$(a-1)^2 \le 0$

Так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(a-1)^2 \ge 0$, данное неравенство выполняется только в одном случае, когда $(a-1)^2 = 0$.

Отсюда следует, что $a-1 = 0$, то есть $a=1$.

Ответ: $a = 1$.