Номер 2.37, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.37, страница 30.

Условие.

2.37. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x} + \sqrt{x-5} = 23 - 2x;$

2) $x^3 + \sqrt{x} = \frac{2}{x}.$

Решение.

1)

Дано уравнение $\sqrt{x} + \sqrt{x-5} = 23 - 2x$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными, и, так как левая часть уравнения неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной.

Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x - 5 \ge 0 \\ 23 - 2x \ge 0 \end{cases} $

Решим систему:

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge 5 \\ 2x \le 23 \end{cases} $

$ \begin{cases} x \ge 5 \\ x \le 11.5 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $x \in [5; 11.5]$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения на этой области.

Функция $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{x-5}$ является суммой двух возрастающих функций ($\sqrt{x}$ и $\sqrt{x-5}$), следовательно, $f(x)$ — строго возрастающая функция на своей области определения.

Функция $g(x) = 23 - 2x$ является линейной функцией с отрицательным угловым коэффициентом ($-2$), следовательно, $g(x)$ — строго убывающая функция.

Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересекаться не более чем в одной точке. Это означает, что данное уравнение имеет не более одного корня.

Попробуем найти корень методом подбора, учитывая ОДЗ $x \in [5; 11.5]$. Проверим целое значение $x=9$, которое принадлежит этому отрезку.

Подставим $x=9$ в исходное уравнение:

Левая часть: $\sqrt{9} + \sqrt{9-5} = 3 + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5$.

Правая часть: $23 - 2 \cdot 9 = 23 - 18 = 5$.

Так как $5 = 5$, то $x=9$ является корнем уравнения.

Поскольку уравнение имеет не более одного корня, $x=9$ — единственное решение.

Ответ: 9.

2)

Дано уравнение $x^3 + \sqrt{x} = \frac{2}{x}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен равняться нулю.

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ne 0 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $x > 0$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения на области $x > 0$.

Функция $f(x) = x^3 + \sqrt{x}$ является суммой двух строго возрастающих функций ($x^3$ и $\sqrt{x}$) на интервале $(0; +\infty)$, следовательно, $f(x)$ — строго возрастающая функция.

Функция $g(x) = \frac{2}{x}$ (гипербола) является строго убывающей на интервале $(0; +\infty)$.

Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересекаться не более чем в одной точке. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня.

Попробуем найти корень методом подбора. Проверим $x=1$.

Подставим $x=1$ в исходное уравнение:

Левая часть: $1^3 + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2$.

Правая часть: $\frac{2}{1} = 2$.

Так как $2 = 2$, то $x=1$ является корнем уравнения.

Поскольку уравнение имеет не более одного корня, $x=1$ — единственное решение.

Ответ: 1.