Номер 2.34, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.34, страница 30.

Условие.

2.34. При каких значениях параметра $a$ функция $y = |x + a|$ убывает на промежутке $(-\infty; -1]$?

Решение.

Функция $y = |x + a|$ представляет собой график функции $y = |x|$, смещенный по оси абсцисс. Точка минимума (вершина "галочки") этой функции находится в точке, где выражение под модулем равно нулю.

Найдем абсциссу вершины:

$x + a = 0$

$x = -a$

Функция $y = |x + a|$ имеет следующий вид в зависимости от значения подмодульного выражения:

$y = \begin{cases} x + a, & \text{если } x \ge -a \\ -(x + a), & \text{если } x < -a \end{cases}$

На промежутке $(-\infty; -a)$ функция равна $y = -x - a$. Производная $y' = -1 < 0$, следовательно, функция убывает.

На промежутке $(-a; +\infty)$ функция равна $y = x + a$. Производная $y' = 1 > 0$, следовательно, функция возрастает.

Таким образом, функция $y = |x + a|$ убывает на промежутке $(-\infty; -a]$ и возрастает на промежутке $[-a; +\infty)$.

По условию задачи, функция должна убывать на промежутке $(-\infty; -1]$. Это означает, что данный промежуток должен быть подмножеством промежутка убывания функции, то есть $(-\infty; -1] \subseteq (-\infty; -a]$.

Это условие выполняется, если правая граница первого промежутка меньше или равна правой границе второго промежутка:

$-1 \le -a$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$1 \ge a$

Или, что то же самое:

$a \le 1$

Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$ при всех значениях параметра $a$, удовлетворяющих условию $a \le 1$.

Ответ: $a \in (-\infty; 1]$.