Номер 2.36, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.36, страница 30.

Условие.

2.36. Решите уравнение:

1) $2x^7 + x^5 + x = 4;$

2) $2\sqrt{x} + \sqrt{x-5} + \sqrt{2x+7} = 13;$

3) $4x^3 + 3x\sqrt{4x-1} = 2.$

Решение.

1) $2x^7 + x^5 + x = 4$

Перепишем уравнение в виде $2x^7 + x^5 + x - 4 = 0$ и рассмотрим функцию $f(x) = 2x^7 + x^5 + x - 4$. Нам нужно найти корни уравнения $f(x) = 0$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x^7 + x^5 + x - 4)' = 14x^6 + 5x^4 + 1$.

Так как $x^6 \ge 0$ и $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $14x^6 \ge 0$ и $5x^4 \ge 0$. Следовательно, $f'(x) = 14x^6 + 5x^4 + 1 \ge 1 > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная функции положительна на всей числовой оси, функция $f(x)$ является строго возрастающей. Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (т.е. принимать значение 0) не более одного раза. Таким образом, у уравнения может быть не более одного корня.

Найдем корень уравнения подбором. Проверим $x=1$:

$2 \cdot 1^7 + 1^5 + 1 = 2 + 1 + 1 = 4$.

Равенство $4=4$ верное, значит, $x=1$ является корнем уравнения. Так как мы доказали, что корень может быть только один, то $x=1$ — единственное решение уравнения.

Ответ: $1$.

2) $2\sqrt{x} + \sqrt{x-5} + \sqrt{2x+7} = 13$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаками корней должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x - 5 \ge 0 \\ 2x + 7 \ge 0 \end{cases}$

Решая систему неравенств, получаем: $\begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge 5 \\ x \ge -3.5 \end{cases}$. Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 5$, или $x \in [5, \infty)$.

Рассмотрим функцию $f(x) = 2\sqrt{x} + \sqrt{x-5} + \sqrt{2x+7}$ на ее области определения.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (2\sqrt{x})' + (\sqrt{x-5})' + (\sqrt{2x+7})' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x-5}} + \frac{2}{2\sqrt{2x+7}} = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x-5}} + \frac{1}{\sqrt{2x+7}}$.

На области определения $x \ge 5$ (для производной $x > 5$), все слагаемые в выражении для $f'(x)$ положительны. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x$ из области определения производной.

Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на своей области определения. Поэтому уравнение $f(x)=13$ может иметь не более одного решения.

Найдем решение подбором. Попробуем целые значения $x \ge 5$, при которых выражения под корнями становятся полными квадратами. Проверим $x=9$:

$2\sqrt{9} + \sqrt{9-5} + \sqrt{2 \cdot 9 + 7} = 2 \cdot 3 + \sqrt{4} + \sqrt{18+7} = 6 + 2 + \sqrt{25} = 6 + 2 + 5 = 13$.

Равенство $13=13$ верное, значит, $x=9$ является корнем уравнения. Так как решение единственное, это и есть ответ.

Ответ: $9$.

3) $4x^3 + 3x\sqrt{4x-1} = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4x-1 \ge 0$, что эквивалентно $4x \ge 1$, или $x \ge \frac{1}{4}$. ОДЗ: $x \in [\frac{1}{4}, \infty)$.

Рассмотрим функцию $f(x) = 4x^3 + 3x\sqrt{4x-1}$ на ее области определения.

Найдем производную функции, используя правило производной произведения:

$f'(x) = (4x^3)' + (3x\sqrt{4x-1})' = 12x^2 + 3 \cdot \sqrt{4x-1} + 3x \cdot \frac{1}{2\sqrt{4x-1}} \cdot 4 = 12x^2 + 3\sqrt{4x-1} + \frac{6x}{\sqrt{4x-1}}$.

На области определения $x \ge \frac{1}{4}$ (для производной $x > \frac{1}{4}$), все слагаемые в выражении для $f'(x)$ являются неотрицательными, и их сумма положительна. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x > \frac{1}{4}$.

Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на своей области определения. Поэтому уравнение $f(x)=2$ может иметь не более одного решения.

Найдем решение подбором. Попробуем значения $x$, при которых выражение $4x-1$ является полным квадратом. Пусть $4x-1=1$, тогда $4x=2$, $x=\frac{1}{2}$. Это значение принадлежит ОДЗ. Проверим его:

$4\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 3\left(\frac{1}{2}\right)\sqrt{4\left(\frac{1}{2}\right)-1} = 4\left(\frac{1}{8}\right) + \frac{3}{2}\sqrt{2-1} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}\sqrt{1} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Равенство $2=2$ верное, значит, $x=\frac{1}{2}$ является корнем уравнения. Так как решение единственное, это и есть ответ.

Ответ: $\frac{1}{2}$.