Номер 2.28, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.28, страница 30.

Условие.

2.28. Найдите:

1) $\min_{R}(|x - 1| + |x - 3|);$

2) $\max_{R}(|x + 2| - |x|);$

3) $\max_{R} \frac{1}{x^2 + 1}.$

Решение.

1)

Требуется найти минимальное значение функции $f(x) = |x-1| + |x-3|$ на множестве всех действительных чисел $R$.

Для решения задачи раскроем модули. Точки, в которых выражения под модулем меняют знак, это $x=1$ и $x=3$. Они разбивают числовую прямую на три интервала.

Случай 1: $x < 1$.
На этом интервале $x-1 < 0$ и $x-3 < 0$. Поэтому $|x-1| = -(x-1) = 1-x$ и $|x-3| = -(x-3) = 3-x$.
Функция принимает вид: $f(x) = (1-x) + (3-x) = 4 - 2x$.
Это убывающая линейная функция.

Случай 2: $1 \le x \le 3$.
На этом отрезке $x-1 \ge 0$ и $x-3 \le 0$. Поэтому $|x-1| = x-1$ и $|x-3| = -(x-3) = 3-x$.
Функция принимает вид: $f(x) = (x-1) + (3-x) = 2$.
На этом отрезке функция постоянна.

Случай 3: $x > 3$.
На этом интервале $x-1 > 0$ и $x-3 > 0$. Поэтому $|x-1| = x-1$ и $|x-3| = x-3$.
Функция принимает вид: $f(x) = (x-1) + (x-3) = 2x - 4$.
Это возрастающая линейная функция.

Таким образом, функция убывает при $x < 1$, достигает значения $f(1) = 4 - 2(1) = 2$. Затем на отрезке $[1, 3]$ функция постоянна и равна 2. При $x > 3$ функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функции равно 2.

Геометрически, выражение $|x-1| + |x-3|$ представляет собой сумму расстояний от точки $x$ на числовой прямой до точек 1 и 3. Эта сумма минимальна, когда точка $x$ находится на отрезке между 1 и 3, и равна длине этого отрезка, то есть $3-1=2$.

Ответ: 2

2)

Требуется найти максимальное значение функции $g(x) = |x+2| - |x|$ на множестве всех действительных чисел $R$.

Раскроем модули, рассмотрев интервалы, которые определяются нулями подмодульных выражений: $x=-2$ и $x=0$.

Случай 1: $x < -2$.
На этом интервале $x+2 < 0$ и $x < 0$. Поэтому $|x+2| = -(x+2) = -x-2$ и $|x| = -x$.
Функция принимает вид: $g(x) = (-x-2) - (-x) = -2$.

Случай 2: $-2 \le x < 0$.
На этом интервале $x+2 \ge 0$ и $x < 0$. Поэтому $|x+2| = x+2$ и $|x| = -x$.
Функция принимает вид: $g(x) = (x+2) - (-x) = 2x+2$.
На этом интервале функция линейно возрастает от $g(-2) = 2(-2)+2 = -2$ до $g(0) = 2(0)+2 = 2$.

Случай 3: $x \ge 0$.
На этом интервале $x+2 > 0$ и $x \ge 0$. Поэтому $|x+2| = x+2$ и $|x| = x$.
Функция принимает вид: $g(x) = (x+2) - x = 2$.

Объединяя результаты, видим, что функция равна -2 для $x < -2$, затем возрастает от -2 до 2 на интервале $[-2, 0)$, и равна 2 для всех $x \ge 0$. Следовательно, максимальное значение функции равно 2.

Также можно использовать обратное неравенство треугольника $|a|-|b| \le |a-b|$. Положив $a=x+2$ и $b=x$, получим: $|x+2|-|x| \le |(x+2)-x| = |2| = 2$. Равенство достигается для всех $x \ge 0$.

Ответ: 2

3)

Требуется найти максимальное значение функции $h(x) = \frac{1}{x^2+1}$ на множестве всех действительных чисел $R$.

Функция представляет собой дробь, числитель которой — положительная константа (1). Чтобы значение такой дроби было максимальным, ее знаменатель должен быть минимальным.

Рассмотрим знаменатель: $D(x) = x^2+1$.
Поскольку $x$ — действительное число, $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$.
Минимальное значение $x^2$ равно 0 и достигается при $x=0$.
Следовательно, минимальное значение знаменателя $D(x)$ равно $D(0) = 0^2 + 1 = 1$.

Максимальное значение функции $h(x)$ достигается при том же значении $x$, при котором знаменатель минимален, то есть при $x=0$.
$\max_R h(x) = h(0) = \frac{1}{0^2+1} = \frac{1}{1} = 1$.

Ответ: 1